Puuh, das ist im Allgemeinen ziemlich harte Arbeit. Du brauchst Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und am besten noch das Verhalten im Unendlichen.
a) Nullstellen und y-Achsenabschnitt
f(x)=3x3-2x=x(3x2-2)
Wie man aus dieser sogenannten Linearfaktorzerlegung sehen kann, hat die Funktion Nullstellen bei x1=0, x2=√(2/3), x3=-√(2/3)
Der y-Achsenabschnitt, ist der Wert an der Stelle 0, also im Prinzip der Schnittpunkt mit der y-Achse.
f(0)=0, die Funktion schneidet die y-Achse im Nullpunkt.
b) Extrempunkte
An Extremstellen ist die erste Ableitung 0.
f'(x)=9x2-2
0=9x2-2
0=x2-2/9
Extremstellen von f sind also:
x1=√(2)/3
x2=-√(2)/3
Um herauszufinden, ob es sich um einen Hoch- oder einen Tiefpunkt handelt, kann man entweder das Verhalten der Funktion rund um den untersuchten Punkt prüfen (also etwas kleinere und etwas höhere Werte in die Funktion einsetzen) oder man berechnet die zweite Ableitung für diesen Punkt.
Man kann sich relativ leicht überlegen, welches Vorzeichen die zweite Ableitung bei welcher Art von Extrempunkt hat:
Bei einem Hochpunkt wird die Steigung immer kleiner, bis sie 0 erreicht, dann wird sie negativ. Die Steigung der Steigung, also die zweite Ableitung ist also negativ.
Analog ist die zweite Ableitung bei einem Tiefpunkt positiv.
Berechne also die zweite Ableitung:
f''(x)=18x
Offenbar hat die zweite Ableitung immer das Vorzeichen des x-Wertes, also gilt
f(x2)<0<f(x1)
Also ist x2 Minimalstelle und x1 Maximalstelle von f.
c) Wendepunkt
Wendepunkte sind Punkte, an denen sich das Krümmungsverhalten der Funktion ändert.
Für diese ist die Voraussetzung, dass f''(x)=0 gilt, da wir die zweite Ableitung schon berechnet haben, ist das einfach:
0=18x
x=0
Die Funktion hat einen Wendepunkt, (0|0).
d) Verhalten im Unendlichen
Das ist bei Polynomen (also Termen der Form a0+a1x+a2x2+... ziemlich einfach: das Verhalten im Unendlichen entspricht dem Verhalten des führenden Terms, also des Terms mit der höchsten Potenz in x. Das ist hier x3, das geht für x gegen +Unendlich gegen +Unendlich und für x gegen -Unendlich gegen -Unendlich, also macht das auch unsere Funktion.
Jetzt rechnest du noch (am besten mit dem Taschenrechner, wegen der ganzen Wurzeln) jeweils die Werte an den Extremstellen aus und schon hast du ein paar (in diesem Fall fünf) Ansatzpunkte, wo deine Funktion langgehen muss. Die musst du dann nur noch möglichst schwungvoll verbinden ;)
