Warum hat x² = -1 mod p hat keine Lösung?

Question

Warum hat x² Ξ -1 mod p keine Lösung in ℤ (p ist Primzahl)?

Dankeschön für eure Antworten.

Comments

Hast du bei der Aufgabenstellung was vergessen?


z.B. ist für p=2 x=1 eine Lösung.,

ebenso für p=5 ist x=2 eine Lösung...

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Das Minuszeichen vor der 1?

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Das Minuszeichen vor der 1?

Was willst du damit sagen?

Natürlich habe ich das in meinem vorigen Post berücksichtigt. Grundlegende Kenntnisse der modulo-Rechnung wären hier natürlich von Vorteil.

Was du wahrscheinlich vergessen hast ist die Bedingung $$p\equiv 3 \mod 4$$ die äquivalent zu obiger behauptung ist.

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Du hast natürlich Recht.

p  ≡ 3 mod 4

Entschuldige für die Umstände.

Answer 1

Sei \(-1\) ein Quadrat in der primen Restklassengruppe \(F^*:=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*\),
die aus \(p-1\) Elementen besteht.
Dann gibt es ein \(x\in F^*\) mit \(x^2=-1\).
Folglich ist die Ordnung von \(x\): \(ord(x)=4\).
Nach Lagrange ist die Ordnung eines Gruppenelementes Teiler der Gruppenordnung,
also hier \(4\,| \, p-1\), d.h. \(p\equiv 1\) mod \(4\).
Ist hingegen \(p\equiv 3\) mod \(4\), so ist folglich \(-1\) kein Quadrat.