Vektorräume Dimensionen

Question

Aufgabe : Ich habe ein paar Fragen uns zwar :

Gibt es einen K-Vektorraum, der 49 bzw. 50 Elemente enthält ?
Wie viele Elemente enthält ein K-Vektorraum der Dimension n ∈ N, wenn |K| = q? Begründe die Antwort anhand von Linearkombinationen.

Answer 1

Wie viele Elemente enthält ein K-Vektorraum der Dimension n ∈ N, wenn |K| = q? Begründe die Antwort anhand von Linearkombinationen.

Ein VR mit dim V = n besitzt eine Basis v1,...,vn  mit n Elementen.

Alle Vektoren lassen sich eindeutig als Linearkombination der

Basiselemente darstellen in der Form

x1*v1+...+xn*vn

und die xi sind aus K.

Es gibt also genauso viel verschiedene Elemente in V wie

es n-Tupel von Elementen aus K gibt, das sind

|K|^n , bei dir also q^n .

Zu den ersten beiden Fragen:  49 ja im VR (ℤ₇)^7 bzw. jedem

7-dimensionalen VR über dem Körper Z₇ .

50 ist allerdings keine Potenz einer Primzahl und da alle Körper

als Elementezahl eine Primzahlpotent haben (und die endlichdimensionalen

Vektorräume über K also auch)  gibt es keinen K-VR mit 50 Elementen.

Comments

Sei Z₅ = {0, 1, 2, 3, 4}, Z₂ = {0, 1}. Z₅ mit der Verknüpfung a+b:= (a+b) mod 5 und a*b:=(a*b) mod 5 ist dann ein Körper. Nun sei Z₅ x Z₅ x Z₂  mit dem Körper Z₅ unser K-Vektorraum V. Seien (x1, x2, x3), (y1, y2, y3) aus V, und (x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) := ((x1+y2) mod 5, (x2+y2) mod 5, (x3+y3) mod 2) und sei j aus Z₅ und j * (x1, x2, x3) := ((j*x1) mod 5, (j*x2) mod 5, (j*x3) mod 2). (Hier werden nur die Verknüpfungen definiert). Ist das kein K-Vektorraum, weil dieser hätte ja 50 Elemente? Warum ist das kein K-Vektorraum.