Wie geht der Beweis für eine offene Menge

Question

ich soll zeigen, dass die Menge $$ M :=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} : x>-1\right\} $$ offen ist, leider habe ich keine Idee wie ich das machen soll. Könnte mir jemand helfen?

Comments

Liegt dir eine Definition für "offene Menge" vor?

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Hallo

Ja!

Eine Menge A ist offen, wenn es um jeden ihrer Punkte eine
Kugel gibt, die ganz in A liegt. Punkte mit dieser Eigenschaft heißen innere Punkte von A.
Also ist A genau dann offen, wenn es nur innere Punkte enthält.

Nur habe ich keine Ahnung wie man die Theorie anwendet

Answer 1

Eine Menge A ist offen, wenn es um jeden ihrer Punkte eine
Kugel gibt, die ganz in A liegt.

Das ist doch prima.

Sei also P = (x,y,z) ein Element von M.

Dann gilt x>-1 .Dann ist r=x+1>0 .

Und die Kugel um P mit dem Radius r/2 ist ganz

in M enthalten; denn alle Elemente dieser

Kugel sind um weniger als r/2 von P entfernt,

also ist insbesondere die x-Koordinate eines

Punktes der Kugel höchstens um r/2 kleiner als x ,

aber x-r/2 = x -(x+1)/2 = x/2 -1/2 = 1/2*(x-1)

und wegen x>-1 ist x-1 > -2 also  1/2*(x-1) > 1/2* (-2) = -1

also liegt jeder Punkt der Kugel in M.