Taylorpolynom von f(x) = (1 + x)^a im Entwicklungspunkt 0

Question

Aufgabe:

Sei f : ] − 1, 1[ → R, f(x) = (1 + x)^a mit a ∈ R.
-Finden Sie die Taylorpolynome Tn von f im Entwicklungspunkt 0.

-Falls a ∈ N und n ≥ a ist, was können Sie über Tn sagen?

-Finden Sie für a = 2.5 ein n ∈ N, sodass |f(0.1) − Tn(0.1)| ≤ 0.001 ist.

Problem/Ansatz:

Bräuchte vor allem im ersten Punkt Hilfe, habe die Aufgabe hier im Forum schon gesehen aber trotzdem nicht verstanden.

Answer 1

f(x) = (1 + x)^a

Für die Taylorpolynome brauchst du ja die Ableitungen

f ' (x) = a*(1+x)^(a-1)

f '' (x) = a(a-1)*(1+x)^(a-2)

f ''' (x) = a(a-1)(a-2)*(1+x)^(a-3)

und wenn n≥a und a∈ℕ ist, dann hast du ja als

(a+1)-te  Ableitung 0 und alle weiteren Ableitungen auch 0,

also sind für n>a alle Taylorpolynome gleich T_a.

Comments

und was ist Taylorpolynome Tn von f im Entwicklungspunkt 0?