Lineare Abbildung im R^3 mit Drehung um π/6

Question

Aufgabe:

Die lineare Abbildung f₁ : ℝ³ → ℝ³ sei eine Drehung um \( \frac{π}{6} \) um die y-Achse, die lineare Abbildung  f₂ : ℝ³ → ℝ³ sei eine Spiegelung an der Ebene

E = \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ∈  ℝ³ | x + 2y - z = 0 }

a) Stellen Sie jeweils die linearen Abbildungen f₁ und f₂ durch Matrizen A₁,A₂ ∈ ℝ^3x3 dar.

b) Berechnen Sie Matrix für die Hintereinanderausführung
f₂ ° f₁: ℝ³ → ℝ³, welche zunächst die Drehung und dann die Spiegelung ausführt.

c) Bestimmen Sie die Determinante der Matrix, welche zur Abbildung f₂ ° f₁ gehört.

Kann mir jemand mit dieser Aufgabe weiterhelfen? Ich weiß nicht wie ich damit arbeiten soll gar habe ich keinen Ansatz wie ich die Aufgabe lösen kann.

Answer 1

Der Punkt (cos(π/6) | 0 | sin(π/6)) wird durch f₁ auf (1 | 0 | 0) abgebildet. Also ist

(1)        A₁ · (cos(π/6)  0  sin(π/6))^T = (1  0  0)^T.

Der Punkt (1 | 0 | 0) wird durch f₁ auf (cos(π/6) | 0 | -sin(π/6)) abgebildet. Also ist

(2)        A₁ · (1  0  0)^T = (cos(π/6)  0  -sin(π/6))^T.

Der Punkt (cos(π/6) | 1 | sin(π/6)) wird durch f₁ auf (1 | 1 | 0) abgebildet. Also ist

(3)        A₁ · (cos(π/6)  1  sin(π/6))^T = (1  0  0)^T.

Die drei Vektorgleichungen kannst du in je drei Gleichungen über ℝ zerlegen. Löse das Gleichungssystem aus diesen neun Gleichungen um die neun Einträge der Matrix A₁ zu bestimmen.

Comments

danke für deine schnelle Antwort aber leider stehe ich immer noch auf dem Schlauch.

Bis jetzt habe ich das was auf dem Bild zu sehen ist errechnet. Jedoch macht das irgendwie keinen Sinn bzw. weiß ich nicht ob das überhaupt das richtige ist.