Trigonometrische Funktionen - Textaufgabe

Question

Hallo :) Ich brauche Hilfe mit einer Aufgabe:

Das Riesenrad hat einen Durchmesser von 120m. Der Einstieg liegt in 4m Höhe über dem Erdboden. Das Rad rotiert stets um 460 Grad, dann stoppt es kurz zum Ein- und Aussteigen.

a) In welcher Höhe befindet sich ein Fahrgast bei seinem fünften Zwischenstopp?

Ansatz: also ich würde berechnen wie viel Grad 5 Zwischenstopps sind => 460*5 = 2300 ; 5 komplette Umdrehungen wären 360*5 = 1800 ; Dann würde ich 2300-1800=500 berechnen. Das wären dann die "übrigen" Grad; 500-360 = 140 also es macht noch eine komplette Umdrehung + 140 Grad. Somit würde der Fahrgast sich 140 Grad weiter befinden. Ist es richtig? Wenn ja, wie komme ich auf die Höhe in m?

b) Nach welcher Zahl von Zwischenstopps kann man erstmals aussteigen?

Ansatz: hier würde ich versuchen auf 0 Grad unterschied zu kommen aber ich weiß nicht wie... Also ich muss irgendwie gucken nach wie viele Umdrehungen es so viele Grad gibt, sodass man die durch 360 teilen kann und auf 0 kommen kann...denke ich mal. Ich  weiß nicht, wie ich es machen soll.

Ich danke euch für die Hilfe, wenn möglich! :)

Comments

**** erledigt ****

Answer 1

a) Finde eine Funktion, die dem Mittelpunktswinkel die Höhe über dem Boden zuordnet. Ich habe \(h(x)=60\sin\left(\frac{2\pi}{360}\left(x-90\right)\right)+64\) gefunden.

https://www.desmos.com/calculator/2df3vz7zny

Wie komme ich auf die Funktion?

Sei \(y=A\sin(B(x+C))+D\) die allgemeine Sinussfunktion.

Das Schaubild solltest Du dir leicht zeichnen können. Z. B. ist nach 180° der Hochpunkt erreicht, hier 124m.

Hierbei ist \(D\) die Mittellinie, also \(D=64\). Des Weiteren ist die Periodenlänge \(360°\) und Du kennst sicherlich die Formel \(T=\frac{2\pi}{B} \Leftrightarrow B=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{360}=\frac{\pi}{180}\).
Wir haben also schon \(D,B\) gefunden. Die Amplitude habe ich dir eingezeichnet, die solltest du auch schon kennen. Diese ist \(A=124-64=60\). Bleibt nur noch das \(C\) - das jagt mich allerdings auch in meinen Träumen.
Dafür stelle ich immer ein Gleichung auf und löse nach \(C\) auf. Man weiß ja, dass die Funktion bei \((0|4)\) startet (OK?). Dann:$$4=60\sin\left(\frac{\pi}{180}(0+C)\right)+64$$$$4=60\sin\left(\frac{\pi}{180}C\right)+64 \quad |-64 \quad |:60$$$$-1=\sin\left(\frac{\pi}{180}C\right)$$ Da du nur die Basislösungen brauchst, musst du nicht substituieren:$$-1=\sin\left(\frac{\pi}{180}C\right) \quad |\arcsin(...)$$$$\arcsin(-1)=\frac{\pi}{180}C  \quad |:\frac{\pi}{180}$$$$\therefore C=\frac{\arcsin(-1)\cdot 180}{\pi}=-90$$Nach dem fünften Zwischenstopp ist der Fahrgast \(500°\) (von seiner Urposition) um den Kreis rotiert.

Berechne also \(h(500)=109.962666587 \text{ m }\)

b) Ich erhalte \(\frac{\text{kgV}(360;100)}{100}=18\)

LG

Comments

hallo können Sie mir die b näher erklären? was wird da genau berechnet wofür steht kgV 

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ach stimmt kleinstes  gemeinsames Vielfaches   nvm

danke! :)

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Ich habe die Antwort noch erweitert. Danke für den Stern :)

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ach stimmt kleinstes  gemeinsames Vielfaches  nvm

Richtig. kgV. Auf'm Casio heißt das "LCM" (Least common multiple)

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sehr ausführlich danke!:D

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vllt noch eine Frage... warum berechnet man das kgv von 360 und 100 und dann durch 100?... ich checke es nicht wirklich würde es gerne verstehen :) sorry wenn ich nerve... also ich wäre auf die Zahlen nicht gekommen ich will nur wissen wie man dazu kommt

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... warum berechnet man das kgv von 360 und 100 und dann durch 100?

das ist ein Fehler! Richtig wäre$$\frac{\text{kgV}(360,140)}{140} = 18$$Das \(\text{kgV}(360,140)\) gibt den kleinsten Wert in Grad an, den das Rad sich drehen muss, um sowohl ein ganzzahliges Vielfaches von 360° als auch ein ganzzahliges Vielfaches von 140° zu erreichen. Und dann teilt man durch 140°, um daraus die Anzahl der Zwischenstopps zu bestimmen.

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Ist irrelevant. 460-360=100.

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stimmt - mein Fehler! \(460  \equiv  100\mod 360\)

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Ja, richtig :-)

Answer 2

Die 140° sind schon richtig.

Höhe des Fahrgastes über dem Erdboden: 4+60+60·sin(50°)m.

Comments

Da haben wir das gleiche raus ;-). So geht's natürlich auch.

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hallo ich kann alles nachvollziehen bis auf sin 50; wie kommt man auf 50?

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140°- 90°= 50°