Eigenwerte, Eigenvektoren, Geometrische Vielfachheit von Matrizen

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie für die Matrix
M =
3 0 2
0 5 0
2 0 3

Eigenwerte und Eigenvektoren und die algebraische und geometrische Vielfachheit
der Eigenwerte.

b) Existiert eine orthogonale Matrix S an, so dass S^T MS eine Diagonalmatrix ist?

Falls ja, geben Sie so eine Matrix S an.
c) Berechnen Sie M^2019 ohne Benutzung eines Rechners.

Comments

Hast du den Eigenwert berechnet?

was kannst du nicht?

lul

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Die Eigenwerte und Vektorwn habe ich mittlerweile berechnet bin mir aber nicht sicher was mit der geometrischen vielfachheit gemeint ist.

Bei der b stehe ich total auf dem Schlauch

Die c muss ich mir später nochmal genau anschauen ich denke ich habe dort einen guten Ansatz gefunden sobald ich die Matrix aus b habe

Answer 1

Eine schritt für schritt Anleitung findest Du unter

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

IN Deinem Fall ist

\(\small charP: -\left(\ell - 1 \right) \; \left(\ell - 5 \right)^{2} = 0\)

Der eigenwert 5 hat die alg. Vielfachheit 2 (doppelte Nullstelle) und die geom. Vielfacheit 2 (Dim des Eigenraumes/ Anzahl der Eigenvektoren)

\(\small EVi \, :=  \,  \left\{ \left(\begin{array}{rrr}-1&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}0&1&0\\1&0&1\\\end{array}\right) \right\} \)

Die Eigenvektroen sind orthogonal (sollten sie auch weil A symmetrisch ist)- normieren sollte genügen um die Jordanmatrix S^T A S damit aufzustellen...

Comments

Was genau bedeutet S^T AS denn eigentlich?w

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S^T = S transponiert (tausche Zeilen gegen Spalten - Spiegelung an der Diagonalen)