Antwort mit KI erzeugt
Lineare Unabhängigkeit und Orthogonalität
Um die aufgestellten Behauptungen zu verstehen und zu beweisen, beginnen wir mit einigen Grundlagen:
- Ein Satz von Vektoren ist
linear unabhängig, wenn kein Vektor in diesem Satz als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann.
- Zwei Vektoren sind
orthogonal (senkrecht) zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist, d.h., \(u \cdot v = 0\).
- Das
Kreuzprodukt \(v \times w\) zweier Vektoren im \(\mathbb{R}^{3}\) resultiert in einem Vektor, der orthogonal zu beiden \(v\) und \(w\) ist.
Beginnen wir mit den Beweisen:
a) Zeigen von linearer Unabhängigkeit: \( u, v, w \) sind genau dann linear unabhängig, wenn \( v, w \) linear unabhängig sind
Um dies zu zeigen, gehen wir von zwei Szenarien aus:
Voraussetzung: \(u \perp v\) und \(u \perp w\)
1.
\(v, w\) sind linear unabhängig \( \Rightarrow u, v, w\) sind linear unabhängig:
Angenommen, \(v, w\) sind linear unabhängig. Ein Vektor \(u\), der orthogonal zu beiden \(v\) und \(w\) steht, kann nicht als Linearkombination von \(v\) und \(w\) dargestellt werden, da er in eine andere "Richtung" zeigt (bedingt durch die Orthogonalität). Daher kann keine nichttriviale Kombination von \(u, v, w\) den Nullvektor ergeben, außer alle Koeffizienten sind 0. Das bedeutet, \(u, v, w\) sind linear unabhängig.
2.
\(u, v, w\) sind linear unabhängig \( \Rightarrow v, w\) sind linear unabhängig:
Wenn \(u, v, w\) linear unabhängig sind, ist per Definition keine Linearkombination dieser Vektoren gleich dem Nullvektor (außer alle Koeffizienten sind 0). Da \(u\) orthogonal zu \(v\) und \(w\) ist, spielt \(u\) keine Rolle in der Linearkombination, die nur \(v\) und \(w\) involviert. Wäre \(v, w\) nicht linear unabhängig, gäbe es eine nichttriviale Kombination von \(v\) und \(w\), die den Nullvektor ergibt, was im Widerspruch zur Annahme steht, dass \(u, v, w\) linear unabhängig sind. Daher müssen \(v, w\) linear unabhängig sein.
b) \( v, w, v \times w \) sind genau dann linear unabhängig, wenn \( v, w \) linear unabhängig sind
Für \(v, w \in \mathbb{R}^{3}\), zeigt das Kreuzprodukt \(v \times w\) einen neuen Vektor an, der orthogonal zu sowohl \(v\) als auch \(w\) ist. Die Bedingung, dass \(v, w, v \times w\) linear unabhängig sind, ergibt sich aus folgenden Überlegungen:
1.
Wenn \(v, w\) linear unabhängig sind:
Das bedeutet, \(v\) und \(w\) spannen eine Ebene auf. Das Kreuzprodukt \(v \times w\) steht senkrecht auf dieser Ebene und kann daher nicht als Linearkombination von \(v\) und \(w\) dargestellt werden. Dies bedeutet, dass \(v, w, v \times w\) gemeinsam eine Basis des \(\mathbb{R}^{3}\) bilden und somit linear unabhängig sind.
2.
Wenn \(v, w\) nicht linear unabhängig sind:
Sind \(v\) und \(w\) linear abhängig, sind sie kolinear oder einer der Vektoren ist der Nullvektor. In beiden Fällen ist das Kreuzprodukt \(v \times w\) der Nullvektor, was bedeutet, dass \(v, w, v \times w\) nicht linear unabhängig sein können, da \(v \times w\) keine neue Dimension in den von \(v\) und \(w\) aufgespannten Raum hinzufügt.
Zusammengefasst, die lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit von \(v, w, v \times w\) im \(\mathbb{R}^{3}\) ist direkt verbunden mit der linearen Unabhängigkeit von \(v\) und \(w\).
