α und β haben die gleichen Eigenwerte, aber die K-Dimensionen von Bild(α) und Bild(β) sind verschieden.

Question

Seien K ein Körper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und α, β ∈ End_K(V).
Finden Sie ein konkretes Beispiel für folgende Situation und begründen Sie:

α und β haben die gleichen Eigenwerte, aber die K-Dimensionen von Bild(α) und Bild(β) sind verschieden.
 

Answer 1

Betrachte die R^3-Endomorphismen zu den Matrizen

M =    1     1     0
          0     1     0
          0     0     2

und  N =    1     0     0
                  0     1     0
                  0     0     2

Bei der ersten hat der Eigenraum zum EW 1 dim=1

und bei der zweiten dim=2.

M ist eben nicht diagonalisierbar, N aber doch.

Comments

Aber die Dimensionen der Bilder der beiden Abbildungen sind doch gleich?

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Ach so, ich hatte das mit den Dimensionen

der Eigenräume verwechselt.

Answer 2

Ich würde es mal mit

$$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$$ und

$$B=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$$

versuchen