Polynom zerfallend in F2

Question

Ich habe das charakteristische Polynom einer Abbidlung f berechnet und es ist

χ_f(x)=x⁵+x³, wobei der Körper F₂ ist.

Nun soll ich zeigen, dass χf zerfallend ist.

Da χf=x³(x²+1) ist es doch schon zerfallend oder?

Oder wie kann ich das sonst zeigen?

Comments

Ach ja und χ_f hat die Eigenwerte x_1,2,3=0 und x_4,5=1,

da x³(x²+1)=0 und da x²=-1 ⇔ x²=1 im F2 und das ist erfüllt für x_4,5=1

Oder?

---

Du solltest noch x²+1 in (x+1)² zerlegen.

---

Ok und begründe ich das dann damit, da x nur die Werte 0 und 1 annehmen kann und dann gilt in F2

(x²+1)=(x+1)² 

Oder wie begründet man das richitg?

---

Bekanntlich gilt 1+1=0 in F₂ und damit (x+1)²=(x+1)·(x+1)=x²+x+x+1=x²+(1+1)x+1=x²+1.

Answer 1

In F2 gilt x^2 = x für alle x∈F2. also ist auch

x^3(x^2+1) = x^3(x+1) ein Produkt aus Linearfaktoren.

Comments

Kann ein Polynom fünften Grades in ein Produkt aus vier Linearfaktoren zerlegt werden?