Relativer Rundungsfehler bei Subtraktion von zwei gerundeten Binärzahlen

Question

Aufgabe:

Es seinen x=\( \frac{3}{5} \) ,\( \frac{4}{7} \) und z=\( \frac{1}{35} \) .

a)  Berechnen zunächst x,y,z als (periodische) Binärbrüche

b)  Berechne  rd₀(x),rd₀(y) und rd₀(z), indem Du jeweils die erhaltenen Binärzahlen per korrektem Runden auf 5 signifikante Bits rundest.

c)  Berechne den den relativen Fehler ρ der Rechnung rd₀(x)−rd₀(y). Gib ρ als Bruch der Form \( \frac{a}{b} \)an

Problem/Ansatz:

a) Hab ich für x = 0,1001 raus, wobei über "1001" noch ein Periodenstrich gehört, also 0,1001100110011001...

y ist 0,100 mit "100" als Periode, also 0,100100100100

z ist 0,000001110101 als Periode

b) rd₀(x) = \( \frac{3}{5} \) = 0,1001

Kann umgeschrieben werden zu 1,001100110011..... * \( 2^{-1} \)

Man hat jetzt 5 Bits Platz.

1,0011 ist die nächst kleinere Zahl im 5-Bit system.

1,001100110011.... ist die Originalzahl

1,0100 ist die nächst größere Zahl

1,0011 entspricht 1,1875 (linker Nachbar)

1,0011001100111 nähert sich 1,2 an

1,0100 entspricht 1,25 (der rechte Nachbar)

\( \frac{(1,1875 + 1,25}{2} \) = 1,21875

Deswegen wird auf 1,1875 gerundet, also ist rd₀(x) = 1,0011

Analog dazu ist rd₀(y) = 1,0010 und rd₀(z) = 1,1101

c) Bei dieser Aufgabe fangen jetzt die Schwierigkeiten an.Die Formel für den relativen Rundungsfehler ist

p (x) = \( \frac{| x quer - x|}{|x|} \)

Was ist "x quer" und was ist "x". Und diese Formel gilt ja nur für p (x) und wir suchen ja den relativen Rundungsfehler von rd0(x) substrahiert von rd0(y). Soll man jetzt den relativen Rundungsfehler für rd0(x) ausrechnen und dann den for rd0(y) und die Ergebnisse substrahieren. Oder soll man direkt mit rd₀(x) und rd₀(y) arbeiten?

Ich weiß, dass rd0(y) = 1,0010 ist, also 1,001100110011.. * \( 2^{-1} \) entspricht. Ich weiß aber weder die Exponentenlänge (wahrscheinlich 1, weil bei 0,1001 die 1 als erste Stelle nach dem Komma folgt, noch die Mantisse (1001?) oder den Bias (müsste 2 sein, weil 1 - 2 = -1 und 0,1001 ist 1,0011000.* \( 2^{-1}), . Wie kann ich den relativen Rundungsfehler von rd₀(x) - rd₀(y) berechnen?

Comments

Hey Marceline !

Ich hänge voll am aufgabe 7.2 b.. hast du es aus dem Skript ? wenn ja welche Seite ?

Rejes

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@b) Erste Zeile: Ich kenne euer Skript nicht. Dürft ihr hier einfach nach fünf Stellen abbrechen, wenn ihr rundet?

3/5 = 0,1001

Normalerweise werden führende Nullen nicht zu den signifikanten Stellen gezählt. D.h. du hast nur 4 signifikante Stellen.

Man schreibt auch nicht einfach ein Gleichheitszeichen.

Zudem: Es folgt unmittelbar nach  0,1001 eine 1. Binär müsste man da wohl eher aufrunden als abrunden. Aber hier musst du eure Rundungsregeln suchen und befolgen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=3%2F5+binary

Der Rest in deiner Rechnung zu b) sieht aber begründeter und korrekter aus. Der verwirrende Anfang ist daher vermutlich nur eine Frage der korrekten Notation, die du aber besser noch klärst.

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@Lu: Danke für die Erklärung. Kannst du vielleicht auch bitte was dazu sagen, wie man zwei binäre gerundete Zahlen subtrahiert und davon den relativen Rundungsfehler berechnet. Also die Aufgabe c). Das war meine eigentliche Frage. Die a) und b) hab ich nur gepostet, damit man den Zusammenhang versteht.

@rejes: Ich habe es im Skript nicht gefunden, aber im Internet wurde es vor 4 Jahren mal erklärt. Hoffe es ist ok, wenn ich hier drauf verlinke: https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=207591&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F