f(s) ist der Schwerpunkt von f(S)

Question

Aufgabe:

Sei S die affine Hülle von r+1 affin unabhängigen Punkten \(\displaystyle a_0,a_1,...,a_r\in\mathbb{R}^n\). Der Schwerpunkt von S ist definiert als \(\displaystyle s=\frac{1}{r+1}\sum^r_{i=0}a_i\).
Beweisen Sie: Ist \(\displaystyle f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m\) eine injektive affine Abbildung, dann ist f(s) der Schwerpunkt von f(S).

Problem/Ansatz:

\(\displaystyle f(s)=f(\frac{1}{r+1}\sum^r_{i=0}a_i)=f(\sum^r_{i=0}\frac{1}{r+1}a_i)=\frac{1}{r+1}\sum^r_{i=0}f(a_i)\), da f affin.
Zu zeigen ist nun also, dass \(\displaystyle f(S)=conv\{f(a_i)\}\) für i=0,...,r. Hier weiß ich nicht mehr weiter.

Comments

Sehe gerade, dass einige deiner bisherigen Fragen noch bei den "offenen Fragen" auftauchen. Da du hier gelegentlich noch aktiv bist die Frage: Ist ein Teil inzwischen erledigt? Kannst du einige selbst beantworten? Wenn ja: Gern einen Kurzantwort als Kommentar bei der entsprechenden Frage und dann hier in einer Liste die Links zu diesen Kommentaren anfügen. Danke.

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Diese beiden Aufgaben konnte ich noch lösen:

https://www.mathelounge.de/604240/beziehung-dreier-folgen-und-grenzwerte-derer?show=660072#c660072

https://www.mathelounge.de/593694/vollstandige-induktion-zwei-ungleichungen-summen-produkt?show=660160#c660160

Answer 1

noch z.z.: \(\displaystyle f(S)=conv\{f(a_i)\}_{i=0}^r\)

\(\displaystyle convS=\{a_i\}_{i=0}^r=a_0+<a_1-a_0,...,a_r-a_0>=a_0+\sum\limits_{i=1}^r\lambda_i(a_i-a_0)\)

Daher gilt:

\(\displaystyle f(S)=f(a_0+\sum\limits_{i=1}^r\lambda_i(a_i-a_0)\)

\(\displaystyle\overset{\text{f affin}}{=}f(a_0)+\lambda_1f(a_1-a_0)+...+\lambda_rf(a_r-a_0)\)

\(\displaystyle\overset{\text{f affin}}{=}f(a_0)+\lambda_1f(a_1)-\lambda_1f(a_0)+...-...+\lambda_rf(a_r)-\lambda_rf(a_0)\)

\(\displaystyle=f(a_0)\cdot(1-\lambda_1-...-\lambda_r)+\lambda_1f(a_1)+...+\lambda_rf(a_r)\)

\(\displaystyle\sum\limits_{i=0}^r\lambda_i=1\Longleftrightarrow1-\sum\limits_{i=1}^r\lambda_i=\lambda_0\)

\(\displaystyle\Longrightarrow f(S)=\lambda_0f(a_0)+\lambda_1f(a_1)+\lambda_2f(a_2)+...+\lambda_rf(a_r)=conv\{f(a_i)\}_{i=0}^r\)

Comments

Danke. Habe daraus nun eine Antwort gemacht.