Da, die Menge aller Vektoren des \(\mathbb{R}^3\) als die Menge
$$ \mathbb{R}^3 = \{ \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 |\quad v_1 , v_2 , v_3 \in \mathbb{R} \} $$
aufgefasst werden kann, müsste \(\mathbb{R}^2\) eine Teilmenge von \(\mathbb{R}^3\) sein.
Denn,
$$ \mathbb{R}^2 = \{ \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 |\quad v_1 , v_2 \in \mathbb{R} \quad und \quad v_3 = 0 \}.$$
Oder ?
Weil eine (echte) Teilmenge T von einer Menge X ist die Menge T die Elemente aus X enthält aber nicht alle Elemente aus X enthält. Und das trifft oven zu, denn
$$\mathbb{R}^2 = \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\0 \end{pmatrix} \subset \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix} = \mathbb{R}^3 $$ wobei \(v_{1,2,3} \in \mathbb{R}\) sind.
