Gibt es keine bijektive Abbildung von einer echten Teilmenge in die Menge Y?

Question

hat einer eine Idee ob die Aussage wahr ist?

Wenn X eine echte Teilmenge einer Menge Y ist, dann gibt es keine bijektive Abbildung von X nach Y.

Comments

$$\mathbb Z\to2\mathbb Z,z\mapsto2z.$$

Answer 1

Wenn \(Y\) endlich ist, gibt es keine bijektive Abbildung zwischen \(Y\) und irgendeiner echten Teilmenge von \(Y\).

Wenn \(Y\) unendlich ist, gibt es immer eine echte Teilmenge von \(Y\), die gleichmächtig zu \(Y\) ist; d.h. es gibt eine bijektive Abbildung zwischen \(Y\) und dieser Teilmenge.

Comments

Aber aus dem Text heraus kann man es nicht sagen ob es endlich oder unendlich ist. Was dann?

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Dann ist die Antwort wohl "Im Allgemeinen ist die Aussage falsch".

Answer 2

Die Aussage ist falsch.  Das Gegenbeispiel aus dem Kommentar

zeigt das zwar nur in umgekehrter Richtung. Es gibt aber

auch passende Gegenbeispiele, etwa

X = IN = { 1;2;3;....   }

Y = INo = { 0; 1;2;3;....   }

Dann ist X eine echte Teilmenge von Y , da alle Elemente von X

auch in Y sind und es gibt ein El in Y ( nämlich 0 ), das nicht in X ist.

Die Abb.   f : X ---->  Y   ;   x ---->  x + 1 ist bijektiv;

denn   falls  f(a) = f(b) dann ist

                a+1  =  b+1

also          a=b   Damit ist f injektiv. 

Und surjektiv ; denn sei  y aus INo   dann ist y - 1  aus X

und   f(y-1) = y . Also gibt es ein x aus X mit

f(x) = y.

Es gibt also eine bij. Abb. von X nach Y; damit ist die

Aussage aus der Aufgabenstellung widerlegt.