Paare von natürlichen Zahlen einer Lösungsmenge finden

Question

Aufgabe:

Finde alle möglichen Paare (a,b) von natürlichen Zahlen, für die gilt: \( \frac{1}{a} \)+\( \frac{1}{b} \) = \( \frac{3}{2018} \)

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war das ganze nach a aufzulösen, dann erhielt ich: a=\( \frac{2018b}{3b-2018} \) . Nun weiß ich aber leider nicht weiter, wie ich jetzt nur die natürlichen Zahlen als Lösungspaare raus filtere. Ich könnte mir ein Programm schreiben um damit alle natürlichen Zahlen für b von 1,...,100000000 testen und dann nur die b wählen, für die a eine natürliche Zahl ist, was aber nicht Sinn der Sache ist.

Des Weiteren habe ich mir überlegt: a=\( \frac{2018b}{3b-2018} \)  ist eine Hyperbel mit Assymptote b=2018/3 und \( \lim\limits_{b\to\infty} \) \( \frac{2018b}{3b-2018} \)=\( \frac{2018}{3} \). Da ich nur an positien natürlichen Zahlen interessiert bin ist also b=673 der kleinste mögliche Wert, da die Gleichung für b=672 negativ wäre. Außerdem sind die Werte für a bei b=673 am größten und werden immer kleiner, je größer b wird und konvergieren gegen den Wert 2018/3.

Mein Ansatz war jetzt einfach für die b Werte, nahe der Assymptote zu testen:

Ein Lösungspaar sieht man sofort zu Beginn ohne etwas rechnen zu müssen: b=2018,a=1009. Des Weiteren erhält man: b=673,a=1358114 ; b=674,a=340033, ab b=675,a=1362150/7 (keine natürliche Lösnug mehr). Da man die Ausgangsgleichung auch einfach nach b auflösen kann, gilt automatisch auch: a=2018,b=1009 ; a=673,b=1358114 ; a=674,b=340033. Man erhält also genau diese 6 Lösungspaare für (a,b). Weitere natürliche Lösungspaare kann es aufgrund des Verlaufs der Hyperbel nicht geben.

Nun bin ich mir jedoch ziemlich unsicher, ob meine Lösung korrekt ist bzw. ob dieser Lösungsansatz überhaupt legitim ist, da ich ja nicht wirklich bewiesen habe, dass die 6 Paare die einzige Lösungen sind (Wobei ich mir intuitiv eigentlich sicher bin, dass es nicht mehr Lösungen geben kann).

Hat jemand vielleicht eine Idee, wie man so eine Aufgabe richtig mathematisch lösen bzw. beweisen kann und ob es da vielleicht einen Zahlentheoretischen Ansatz gibt?

Answer 1

schau mal hier nach:

https://math.stackexchange.com/questions/3123923/find-all-ordered-pairs-a-b-such-that-1-a-1-b-3-2018-and-a-b-are-posi

Answer 2

Multiplikation der gegebenen Gleichung mit 2018*a*b führt auf

2018(b+a)=3*a*b

Da die linke Seite durch 2018 teilbar ist, muss die rechte Seite auch durch 2018 teilbar sein.

Da der Faktor 3 zu 2018 teilerfremd ist, muss a*b durch 2018 teilbar sein.

2018 muss also entweder vollständig in einer der beiden Zahlen a,b enthalten sein, oder die Primfaktoren von 2018 müssen teilweise in a und teilweise in b enthalten sein.

Mache also zunächst die Primfaktorzerlegung von 2018 und spiele die möglichen Fälle durch.