Globale Extrempunkte bestimmen

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hallo , kann mir jemand mit einem einfachen Beispiel erklären wie man globale Extrempunkte bestimmt bzw. Ausrechnet ? Ich verstehe es nicht

Answer 1

Wenn du ein Maximum \(x_{\text{Max}}\) gefunden hast, so ist es ein globales Maximum, wenn \(f(x_{\text{Max}})\geq f(x)\) gilt bzw. ein globales Minimum \(x_{\text{Min}}\), wenn \(f(x_{\text{Min}})\leq f(x)\).

Beispiel:

\(f(x)=-x^2+2\), also \(f'(x)=-2x\overset{!}=0 \implies x_{\text{Max}}=0\). Eine Parabel hat immer nur ein Maximum/Minimum, da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist es ein Maximum (ansonsten im allgemeinen Fall \(f''(x)\) bilden).

Damit es ein globales Maximum ist, muss \(f(x_{\text{Max}})\geq f(x)\) gelten. Wir haben also:$$f(0)=2\geq -x^2+2=f(x)$$$$\Leftrightarrow 0\geq -x^2 \quad |\cdot (-1)$$$$\Leftrightarrow x^2\geq 0$$ Quadratzahlen können niemals kleiner als \(0\) werden, demnach ist \(x_{\text{Max}}=0\) ein globales Maximum.

Comments

Habe noch einiges hinzugefügt, LG

Answer 2

Hallo

y=-x^2  hat bei x=0 ein globales  Max, weil  -x^2<0 für all x

y=x^3+x^2  für -5<=x<=5 hat bei x=-2/3 ein lokales max, das aber nicht global ist, denn den größten Wert also das globale Max im Definitionsbereich hat  es bei x=5, ein lokales Minimum bei x=0, das auch nicht global ist da bei x=-5 das globale Minimum ist

jetzt zur Methode, zuerst bestimmt man aus f'=0  (und f'' nicht 0) alle lokalen Max und Min, dann sucht man das mit dem höchsten Wer, dann sucht man ob an einem Rand des Definitionsgebietes ein höherer Wert ist, in dem Falle ist der Randwert das globale max, sonst das lokale Max mit dem höchsten Wert.

Gruß lul