Allgemeine Formen von Bruchgleichungen, Wurzelgleichungen, Logarithmusgleichungen und trigonometrischen Gleichungen?

Question

Ich schreibe gerade am Mathe-Wiki weiter und möchte eine Seite „Gleichungen“ ausarbeiten, wo verschiedene Gleichungstypen vorgestellt werden.

Jetzt habe ich für lineare, quadratische und kubische Gleichungen die allgemeinen Formen notiert (Polynome). Jedoch stehe ich vor der Frage, ob es solche allgemeinen Formen auch für diese Gleichungstypen gibt:

- Bruchgleichungen
- Wurzelgleichungen
- Logarithmusgleichungen
- trigonometrische Gleichungen
- Differentialgleichungen

Link zum Artikel: https://www.matheretter.de/wiki/gleichungen

Freue mich über jede Hilfe.

Answer 1

Bruchgleichungen: Die Unbekannte kommt im Nenner vor.

"trigonometrische Gleichungen" kommt mW so nicht vor. Gleichungen wie sin(2x-1) = 2cos(2x -1) werden "goniometrische Gleichungen" genannt.

Statt eine allgemeine Form erkennt man diese Gleichungen eher an charaktisierenden Fakten.

- Bruchgleichungen: Die Unbekannte kommt in Nenner vor
- Wurzelgleichungen: Die Unbekannte kommt unter einer Wurzel vor
- Logarithmengleichungen: Die Unbekannte steht im Argument eines Logarithmus
- goniometrische Gleichungen: Die Unbekannte steht im Argument einer trigonometrischen Funktion.
- Differentialgleichungen: Es kommt eine Ableitung (erste, zweite, dritte,...) der gesuchten Funktion vor. Bei den Differentialgleichungen gibt es Unterscheidungen nach Typen ähnlich wie bei der Integration. 

Answer 2

Soweit ich weiß gibt es keine allgemeinen Bruchgleichungen. Man kann ja beliebig viele Brüche haben. Die könnten natürlich zur Vereinfachung auf einen Hauptnenner gebracht werden. Dann kann man aber auch gleich mit dem Hauptnenner multiplizieren und hat in den meisten Fällen ein Polynom.

Grundsätzlich löst man also Bruchgleichungen wie Polynomgleichungen.

Bei den goniometrischen Funktionen ist es empfehlenswert, wenn man die allgemeine Sinusfunktion und Kosinusfunktion lösen kann

a·SIN(b·(x + c)) + d = 0 oder a·COS(b·(x + c)) + d = 0

meist wird statt meinem + c auch ein - c verwendet.

Auch allgemeine Wurzelgleichungen gibt es nicht. Auch hier kann man ja mehrere Wurzeln haben. Hier wird das noch schwieriger. Wurzeln müssen nacheinander isoliert und durch quadrieren eliminiert werden. Im glücklichsten Fall läuft das also auch auf ein Polynom hinaus.