Grenzwert von Bruch für x gegen -1 berechnen

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich komme am Ende auf 5-(-1)*0

Die Lösung lautet aber : 15/4

Mein Fehler müsste im letzten Term liegen.

Mein Ansatz war :

lim(x->-1) 5/(1-x^2)  =  5* lim(x->-1) 1/(1-x^2) = 1/0 , was jedoch nicht stimmen kann , da als Ergebnis 15/4 verlangt wird.

Answer 1

(5·x + 5)/(1 + x) = 5

(1 + x)/(1 - x) · 5/(1 - x^2) = 5/(x - 1)^2

5 - 5/(x - 1)^2 = (5·x^2 - 10·x)/(x - 1)^2

lim (x → -1) (5·x^2 - 10·x)/(x - 1)^2 = (5·(-1)^2 - 10·(-1))/((-1) - 1)^2 = 15/4

Comments

Die 5 habe ich auch raus.

Was ich nicht verstehe ist, weshalb genau ich die Produktregel auf die beiden rechten Terme anwenden kann um diese einzeln zu berechnen.

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Einzeln wäre das 0 · ∞ und das ist ein unbestimmter Ausdruck. Du darfst das also nicht einzeln machen.

Fasse die Brüche wie ich zusammen.

(1 + x)/(1 - x)·5/(1 - x^2)

= (1 + x)/(1 - x)·5/((1 - x)(1 + x))

= 1/(1 - x)·5/(1 - x)

= 5/(x - 1)^2

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Also muss man, wenn es ein unbestimmter Ausdruck ist, die Terme immer so umformen, dass etwas "richtiges" rauskommt (?)

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Genau. Für

lim (x → ∞) (x * 1/x) gilt nicht lim (x → ∞) (x) * lim (x → ∞) (1/x)

Da darf man das nicht auseinanderziehen.

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Also als Bsp :

lim (x->1) 3/(x-1) * x-1/1-x müsste ich dann umformen wie bei der anderen Aufgabe oder (?)

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Genau

3/(x - 1)·(x - 1)/(1 - x) = 3/(1 - x)

Das ist doch so viel einfacher.

Answer 2

Hallo

 du kannst nicht Faktoren einzeln betrachten, wenn bei einem der Zähler 0 wird, beim anderen der Nenner

Nenner 1-x^2=(1+x)*(1-x) Zähler 1+x man kann für ALLE x ≠0 1+x kürzen und hat dann als zweiten Summanden -5/(1-x)^2  und kann x=-1 einsetzen .

(so was wie 1/0 sollte man NIE schreiben) der GW von x->-1 von 1/(1-x^2) wäre oo und nicht 0

Gruß lul

Comments

Beim 2. Term habe ich mir gedacht, dass ich L Hospital benutzen kann , da 0/0.

Ich verstehe nur deine Begründung nicht, weshalb genau die Anwendung der Produktregel nicht gehen soll.

Ich würde dich um eine etwas verständnisvollere Erklärung bitten.

Danke dir

Answer 3

meine Berechnung:

Comments

Die 5 habe ich auch raus.

Was ich nicht verstehe ist, weshalb genau ich die Produktregel auf die beiden rechten Terme anwenden kann um diese einzeln zu berechnen.

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Das ist ein ganz normaler Grenzwertsatz, warum soll man den nicht anwenden können.

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Dann bekomme ich beim linken der beiden Terme -1 raus und beim rechten kommt aber 5/0=unendlich raus ...

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rechne bitte in Ruhe , keine Aufregung

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Der Grenzwert von 1-x^2 ist ja aber 0 und oben steht die Konstante 5 .Also 5/0, was laut Gesetzen unendlich ist oder nicht (?)

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Sage bitte bei meiner Rechnung, bis wohin Du es verstehst?

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Der Grenzwert von 1-x2 ist ja aber 0 und oben steht die Konstante 5 .Also 5/0, was laut Gesetzen unendlich ist oder nicht (?)

1-x^2= -(x-1)(x+1)

damit kürzt sich der Term x+1