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Aufgabe:
$$ \begin{array}{l}{\text { Für welche } t \in \mathbb{R} \text { ist die lineare Abbildung, die durch die Matrix } A \in \mathbb{R}^{6 \times 6} \text { definiert }} \\ {\text { wird, ein Isomorphismus? }}\end{array} $$

$$ A=\left(\begin{array}{cccccc}{t} & {1} & {\frac{2}{3}} & {\frac{3}{7} t} & {\frac{5}{2} t} & {-3} \\ {1} & {2} & {-3} & {-7 t} & {8} & {-2 t} \\ {0} & {0} & {\frac{3}{7}} & {2} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {7} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {3 t} & {2} & {\frac{1}{3}} & {t} \\ {0} & {0} & {3} & {2 t} & {-2} & {-3}\end{array}\right) $$


Problem/Ansatz:

Wie bestimme ich t?
Ich habe ein wenig gegooglet und weiß nicht ob ich hie auf dem richtigen weg gewesen bin:
Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung V → W, die bijektiv ist. Das ist genau der Fall, wenn die Darstellungsmatrix regulär ist. Die beiden Räume V und W bezeichnet man dann als isomorph. (Wikipedia)



LG

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Das ist genau der Fall, wenn die Darstellungsmatrix regulär ist.

Richtig. Und Matrizen sind genau dann regulär, wenn ihre Determinante \( \neq 0 \) ist. Also reicht es hier die Determinante der Matrix auszurechnen, dann erhältst du ein Polynom in der Variablen t und davon musst du die Nullstellen ausrechnen.

Tipp: Sieh dir an, wie man die Determinante für Blockmatrizen sinnvoll ausrechnet.

[spoiler]

$$\det A = (2t-1)^2$$Die Matrix induziert also für alle \( t \neq \frac{1}{2} \) einen Isomorphismus.

[/spoiler]

Avatar von 6,0 k

schon mal danke für die Antwort, war ja nicht ganz auf dem Holzpfad! :D

Um auf die Determinante zu kommen, würde mir aber nur der Laplacesche Entwicklungssatz einfallen.

Also von Laplace würde ich abraten. Dann eher noch Gaußsches Eliminationsverfahren (auf Dreiecksgestalt bringen und dann die Regel für Dreiecksmatrizen verwenden)

Ah cool danke, bin so auch direkt auf die \( \frac{1}{2} \) gekommen.


LG und noch eine schöne Woche!

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