Zeigen Sie: das eine Grupppe G und ein x Element G einen Isomorphismus Definiert

Question

Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter, eventuell kann man mir das anhand eines ähnlichen Beispiels erklären. Es geht um folgendes:

Zeigen Sie: Das für eine Gruppe G und ein x ∈ G wird durch  

C_{x ^:}  G →G

y→ xyx^-1

ein Isomorphismus definiert.

Mir ist klar das es bijektiv sein muss, daher muss ich zeige, dass das injektiv und surjektiv  ist. Das fällt mir schwer, ich muss es da irgendwie einsetzen aber ich steh leider komplett auf dem Schlauch.

Ebenfalls weiß mich das injektiv zu jedem y höchstens 1 x-Wert und bei surjektiv zu jedem y mindestens 1 x-Wert.

Answer 1

Außerdem musst du zeigen, dass es ein Homomorphismus ist,

also für alle y,z aus G gilt C_x(y*z) = C_x(y)*C_x(z).

Das ist aber einfach, weil (xyx^-1)*(xzx^-1)

wegen der Assoziativität gleich  xy(x^-1)*(x)zx^-1  =x(yz)x^-1 ist.

Injektiv: Seien y,z, aus G mit  C_x(y) = C_x(z)

==>     xyx^-1 =xzx^-1    Multiplikation von rechts mit x gibt

==>    xy =  xz    und von links mit x^-1 bringt den Rest.

surjektiv:    Sei z aus G, dann ist es das Bild von

x^-1*z*x.

Comments

Danke für deine sehr schnelle Antwort. Das sieht schon ziemlich nach der Lösung aus aber woher nimmst du dir das "z"?

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z aus G.  Injektivität bedeutet - wie du sagst -

"zu jedem y höchstens ein x-Wert"

Das kannst du dadurch zeigen, dass du annimmst,

es gäbe ein y mit 2 x-Werten. Da in dieser Aufgabe

das x aber schon eine andere Bedeutung hat, habe ich

so begonnen :  Angenommen es gibt zwei Werte

aus dem Definitionsbereich (Ich nenne die y und z)

die beide den gleichen Funktionswert haben, also

C_x(y) = C_x(z) dann ……    y=z, also sind die

beiden Werte aus dem Definitionsbereich beide

gleich, es gibt also nur einen.