Kann man (x^4 - y^2) / (x^4 + y^2) so umschreiben, dass man anschließend x und y gegen 0 laufen lassen kann?

Question

Aufgabe:

Kann man (x⁴ - y²) / (x⁴ + y²) so umschreiben, dass man anschließend x und y gegen 0 laufen lassen kann?

Problem/Ansatz:

(x⁴ - y²) / (x⁴ + y²) = (x⁴ - y² + y² - y²) / (x⁴ + y²) = 1 - 2y² / (x⁴ + y²)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Kann man y^2 / (x^4 + y^2) so umschreiben, dass man anschließend x und y gegen 0 laufen lassen kann?

Stichworte: grenzwert,brüche

Aufgabe:

Kann man y² / (x⁴ + y²) so umschreiben, dass man anschließend x und y gegen 0 laufen lassen kann?

Answer 1

Tipp: Für x ≠ 0 ist ƒ(x,0) = 1. Für y ≠ 0 ist ƒ(0,y) = -1.

Comments

Ich soll aber x und y gleichzeitig gegen 0 laufenlassen und nicht nacheinander. Ich glaube das macht schon einen Unterschied. Das Problem konnte ich allerdings lösen in dem ich die Polarkoordinaten verwendet habe und eine Fallunterscheidung durchgeführt habe.

Vielen Dank für die Antwort :)

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Darf man fragen mit welchem Ergebnis?

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f(ϑ,r)  =  ( r⁴ cos⁴(ϑ) - r² sin²(ϑ) ) /  ( r⁴ cos⁴(ϑ) + r² sin²(ϑ) )

         =  ( r² cos⁴(ϑ) -  sin²(ϑ) ) /  ( r² cos⁴(ϑ) + sin²(ϑ) )

Fall 1:  ϑ ≠ 0, π

lim_r→0  ( r² cos⁴(ϑ) -  sin²(ϑ) ) /  ( r² cos⁴(ϑ) + sin²(ϑ) )  =  - sin²(ϑ) / sin²(ϑ) = -1

Fall 2:  r ≠ 0

lim_r→0,π   ( r² cos⁴(ϑ) -  sin²(ϑ) ) /  ( r² cos⁴(ϑ) + sin²(ϑ) )  =  r² / r² = 1

Also wie man sieht kommt mit beiden Lösungsansätzen das Gleiche raus. Ich dachte allerdings, wenn man das ganze so macht wie ich es getan habe, denkt man alle mögliche Richtungen ab von denen man auf die 0 zuläut. Lässt man im kartesischen Koordinatensystem  x und y nacheinander gegen 0 laufen, hat man nur zwei Richtungen abgedeckt, von denen aus man auf die 0 zugeht. Aber je länger ich darüber nachdenke, desto verwirrter bin iwie. 

Hab ich einen Denkfehler gemacht? Hab ich es mir vielleicht doch nur unnötig komplizierter gemacht?  

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Mit 1, bzw. -1 hast du doch zwei verschiedene Werte erhalten. Also existiert der Grenzwert nicht.

Answer 2

(x^4 - y^2) / (x^4 + y^2)

Du kannst sicher ganz einfach einsetzen
x = 0
(0^4 - y^2) / (0^4 + y^2)
-y^2 / y^2 = -1