Integralrechnung,Fläche berechnen

Question

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)=1/2x^2 und g(x)=1/4x^2 -1 und die Geraden x=t und x=-t begrenzen eine Fläche. Deren Flächeninhalt ist abhängig von t. Geben Sie diesen Flächeninhalt A(t) in Abhängigkeit von t an.

Bei den Lösungen steht A(t)=1/6t^3 +2t

Wie sind die zu dieser Lösung angekommen? Vor allem was muss man mit x=t und x=-t machen, wir soll ich die in der Rechnung einbringen?

Vielen Dank

Liebe Grüße

Comments

du setzt -t und t als die Integralgrenzen ein.

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du integrierst einfach die Kurven von -t bis t.

Dabei musst du aber bedenken, dass 1/4x^2 -1 einen Nulldurchgang hat.

Bis t = 2: Flächen addieren

Ab t > 2: Flächen subtrahieren

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Vielen Dank :)

Answer 1

$$ \int\limits_{-t}^{t} (\frac{1}{2} x^{2} - ( \frac{1}{4} x^{2} -1) dx = [ \frac{1}{12} x^{3} + x]_{-t}^{t} = \frac{1}{6} t^{3} + 2t$$

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Vielen herzlichen Dank :)

Answer 2

Die beiden Graphen schneiden sich nicht.  Sieht so aus:

~plot~ 0,5*x^2;0,25*x^2-1 ~plot~

Also rechnest du

$$\int_{-t}^{t}(0,5x^2 - (0,25x^2-1) dx =\int_{-t}^{t}(0,25x^2+1) dx $$

= [ (1/12)*x^3 + x ] in den Grenzen von -t bis t

=((1/12)*t^3 + t) - ((1/12)*(-t)^3 + (-t) = (1/6) t^3 +2t

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Vielen Dank :)

Answer 3

gemeint ist diese Fläche:

 

Differenzfunktion bilden D(x)(=x²/4+1

in den Grenzen von 0 bis t integrieren. Stammfunktion x³/12+x. Grenzen eingesetzt t³/12-t

Maß verdoppeln.2·(t³/12-t).