Eingeschlossene Fläche berechnen - Integralrechnung

Question

ich habe etliche Versuche hinter mir und komme nicht weiter und habe zusätzlich keine Lösungen. Könnte mir jemand bitte helfen?

Answer 1

f ( x ) = x^3
g ( x ) = x^2 + 2*x

Schnittpunkte
f ( x ) = g ( x )
x^3 =  x^2 + 2*x
x^3 - x^2 - 2*x = 0
x * ( x^2 - x - 2 ) = 0
x = 0
und
x^2 - x - 2 = 0  | pq-Formel
x = -1
und
x = 2

Differenzfunktion bilden
d ( x ) = f ( x ) - g ( x )
d ( x ) = x^3 - x^2 - 2*x

Stammfunktion bilden
∫  x^3 - x^2 - 2*x dx
x^4 / 4 - x^3 / 3 - 2*x^2 / 2
x^4 / 4 - x^3 / 3 - x^2

Nun die Fläche zwischen -1 und 0
und
0 und 2 berechnen.

Die Flächen absolut setzen und addieren.
Bin gern weiter behilflich.

~plot~ x^3 ; x^2 + 2*x ;   [[-1|2|-1.5|10]] ~plot~

Comments

zu 2.)
g ( x ) und f ( x ) sind jetzt andere Funktionen

f ( x ) = x^2
g ( x ) = m * x

Hier einmal der Graph für m = 1

~plot~  x^2 ; 1 * x  ; [[ 0| 1.5 | 0 | 1.5]] ~plot~

Gesucht ist die Fläche zwischen rot und blau mit A = 10

Schnittpunkte
f ( x ) = g ( x )
x^2 = m * x
x^2 - m * x = 0
x * ( x - m ) = 0
x = 0
und
x = m

d ( x ) = g ( x ) - f ( x )
d ( x ) = m * x - x^2
Stammfunktion
∫ d ( x ) dx
∫ m * x - x^2 dx
m * x^2 / 2 - x^3 / 3

[ m * x^2 / 2 - x^3 / 3]₀^m = 10

m * m^2 /2 - m^3 / 3  - ( m * 0^2 / 2 - 0^3 /3 ) = 10
m^3 / 2 - m^3 / 3 = 10
m^3 / 6 = 10
m^3 = 60
m = 3.915

g ( x ) = 3.915 * x

Answer 2

Ich habe es in der Schule folgendermaßen gelernt. Als erstes musst du die beiden gemeinsamen Punkte von den geraden berechnen bzw. die beiden Punkte wo die sich schneiden. Diese beiden Punkte sind die untere und obere Grenze. Dies berechnest du indem du die beiden Funktionen gleichsetzt und nach x auflöst. x³=x²+2x <- nach x auflösen. Lösung: x1= -1   x2= 0   x3= 2

Jetzt musst du den Integral von: A1 = ∫x³-(x²+2x)dx berechnen ( untere Grenze -1, obere Grenze 0)

 und dann von: A2=  ∫x³-(x²+2x)dx ( untere Grenze 0, obere Grenze 2).  A1= 0,42    A2=2,667

Das ergebnis ist also A1+A2, also 0.42 + 2,667 = 3,087

Answer 3

1.

d(x) = f(x) - g(x) = x^3 - (x^2 + 2·x) = x^3 - x^2 - 2·x

Schnittstellen d(x) = 0

x^3 - x^2 - 2·x = x·(x^2 - x - 2) = x·(x + 1)·(x - 2) = 0

x = 2 ∨ x = -1 ∨ x = 0

∫ (-1 bis 0) (x^3 - x^2 - 2·x) dx = 5/12

∫ (0 bis 2) (x^3 - x^2 - 2·x) dx = - 8/3

A = 5/12 + 8/3 = 37/12

Comments

2.

d(x) = m·x - x^2 = x·(m - x)

∫ (0 bis m) (m·x - x^2) dx = m^3/6 = 10 --> m = 60^{1/3} = 3.915

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Ich verstehe 2. nicht ganz. Als erstes wird wieder das Integral aufgestellt von 0 bis m (eine bestimmte Fläche abdeckend) aber wieso m? m gibt doch die Steigung der linearen Funktion an. Wird nach m ''aufgelöst''? Ich blicke da nicht durch. Könntest du es vielleicht in Worten einmal bitte erklären?

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Du brauchst den Schnittstellen bei denen die zwei Graphen sich schneiden. Die bekommen wir über die Nullstellen der Differenzfunktion d(x).

Die Nullstellen kannst du oben in der faktorisierten for direkt mit 0 und m ablesen.

Kleiner Tipp. Zeichne dir das ganze vielleicht mal für m = 1 und m = 2 und m = 3 auf.