Lineare Algebra - <X> ist der Kleinste Untervektorraum, der X umfasst.

Question

Ich verstehe folgendes (Ausschnitt aus Buch zum Thema Basis / DImension) gar nicht:

Mit der Vereinbarung  \(⟨∅⟩ := \{0_v\}\)  können wir zeigen, dass für jede Teilmenge \(X\) eines Vektorraums \(V\) das Erzeugnis von \(X\), also \(⟨X⟩\), ein Untervektorraum von \(V\) ist. 

\(⟨X⟩\) ist der kleinste Untervektorraum, der \(X\) umfasst
Für jede nichtleere Menge \(X\) eines \(\mathbb{K}\)-Vektorraums \(V\) gilt:
- \(⟨X⟩\) ist ein Untervektorraum von \(V\),
- \(X ⊆ ⟨X⟩\),
- \(⟨X⟩\) ist der Durchschnitt all derjenigen Untervektorräume von \(V\), welche \(X\) umfassen. 

Problem/Ansatz:

Ich verstehe an sich vieles von oben nicht.
Um ehrlich zu sein, verstehe ich nicht einmal den Titel des gelben Kastens.

Aber um ein paar Punkte zu nennen, 
- Was bringt uns die Vereinbarung, dass die leere Menge den Nullvektor aufspannt?
- Das Erzeugnis/Hülle/Span einer Menge X ist ein Untervektorraum von V ? 
- Der Span (Von was ? ) ist der Durchschnitt all derjeniger Untervektorräumen von V, welche X umfassen (Hier verstehe ich gar nichts!) 





Frage
 
Falls jemandem obiges bekannt vorkommt, 
wäre ich mega froh wenn mir das jemand erklären könnte. !

Nachbemerkung; Falls jemand dazu Nachhilfe geben will, würde ich das gerne in Anspruch nehmen.

Answer 1

Das Erzeugnis/Hülle/Span einer Menge X ist ein Untervektorraum von V ? 

Das ist der Kern der Sache. Wenn du nämlich einfach nur einige Vektoren

(sagen wir mal von R^2 ) hast, etwa ( 1;2) ; (1;1) ; (-1;-2) ; (2;2); (1;0); (2;3)  oder etwas mathematischer

 eine  Menge M = { ( 1;2) ; (1;1) ; (-1;-2) ;(2;2); (1;0); (2;3) }, dann kannst du ja mal anfangen mit diesen was zu rechnen,

etwa   ( 1;2) +(1;1)   oder 2*(1;1) und die Ergebnisse sind wieder in der Menge M.

Das klappt aber nicht bei allen, etwa (1;1) + (-1;-2) ist nicht in M. Wenn man also

uneingeschränkt mit allen rechnen will, muss man wohl noch welche dazu nehmen.

Und wenn man das solange macht bis Abgeschlossenheit erreicht ist, dann hat man die

Menge soweit vergrößert, dass sie einen Vektorraum , also dann einen

Untervektorraum von R^2 bildet. Und dieser Unterraum  heißt dann

Spann oder Erzeugnis oder Hülle von M.

Erzeugnis heißt das wohl auch deshalb, weil man alle Elemente die

dann darin sind mit den vorgegebenen   ( 1;2) ; (1;1) ; (-1;-2) ;(2;2); (1;0); (2;3)

 "erzeugen" kann, indem alle möglichen Linearkombinationen daraus bildet:

in der Art   a*( 1;2)+b*(1;1)+c*(-1;-2)+d*(2;2)+e*(1;0)+f*(2;3) .

Es geht allerdings auch kürzer.

Comments

Ich habe es mal versucht.... 
Ich habe ein Blatt zum Titel, den ich glaube nicht verstanden zu habengemacht: 


Folgendes:


Erstens:
Ich glaube das Wort "kleinste" verwirrt. 

Denn wenn ich den Satz am Beispiel am IR^3 übersetze, sehe ich dass der "kleinste" nichts mit seiner Raumgrösse zu tun hat. Vielleicht hätte man es besser so genannt: 

\(⟨X⟩\) bezeichnet den, an der Anzahl enthaltenden Elementen gemessen, kleinsten Untervektorraum , der \(X\) aufspannt.  

Das bedeutet, dass eine Menge X, wohl ein Vektorraum,  aus einer kleinsten Anzahl von Elementen linearkombiniert werden kann, so dass X selbst entsteht.

Oder, dass es für jeden Vektorraum X, oder auch Untervektorraum X (denn Untervektorräume sind ja auch Vektorräume) eine kleinste Anzahl an Elementen gibt aus denen sie aufgespannt sind. 


Zweites:
Das Wort "umfasst" im Satz würde ich durch "aufspannt" ersetzen. 

Drittens: 
Ich vermute, dass obiger Sachverhalt zum Begriff der \(Basis\) führt. 

Viertens:
Ist mit \(⟨X⟩\) auch das Erzeugendensystem gemeint und mit \(X\) das Erzeugnis ? 
Wenn ja, dann weiss ich von nun an dass ein Erzeugendensystem etwas macht, naja, was macht es? Es erzeugt etwas, und das was das Erzeugendensystem erzeugt heisst Erzeugnis. 

Fünftens:
Weil ich schon vorgegriffen habe und den Begriff der Basis genant habe, weiss ich bereits dass nicht jedes ERzeugendensystem eine Basist ist, nur ein sogenanntes minimales Erzeugendensystem ist eine Basis. 




Ist das Richtig ? 

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Erstens:
Ich glaube das Wort "kleinste" verwirrt. 
Das bezieht sich hier darauf, dass jeder andere (Unter)vektorraum, der

alle Elemente von X enthält, auf jeden Fall auch alle von <X> enthalten

muss.

Zweites:
Das Wort "umfasst" im Satz würde ich durch "aufspannt" ersetzen. 
Wenn A den Raum B "umfasst" heißt das nur, dass

B in A enthalten ist.

Drittens: 
Ich vermute, dass obiger Sachverhalt zum Begriff der Basis führt.

In der Tat !

Viertens:
Ist mit ⟨X⟩ auch das Erzeugendensystem gemeint und mit X das Erzeugnis ?

Genau umgekehrt <X> ist das was von X erzeugt wird, also ist

X ein Erzeugendensystem von <X>

 und das was das Erzeugendensystem erzeugt,  heisst Erzeugnis.  Genau !

Fünftens:
Weil ich schon vorgegriffen habe und den Begriff der Basis genant habe, weiss ich bereits dass nicht jedes ERzeugendensystem eine Basis ist, nur ein sogenanntes minimales Erzeugendensystem ist eine Basis.

Genau, und dass es minimal ist, merkt man daran, dass seine

Elemente alle linear unabhängig sind.

Deren Anzahl heißt dann: Dimension

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Also ich habe jetzt nochmal deine erste Antwort, der etwas längere Text angeschaut und habe ihn etwas für mich umgeschrieben. 

Wir betrachten eine Teilmenge M des Vektorraums \( \mathbb{R}^2 .\)

Sei \( M = \{ \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}  , \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}  , \begin{pmatrix} -1\\-2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix} \} \subseteq \mathbb{R}^2 . \)

Was kann ich mit diesen Elementen machen ? Naja rechnen. 
$$ \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}  + \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \in M. $$

Oder: 
$$ 2*\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}  \in M. $$

Aber!
$$ \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}  + \begin{pmatrix} -1\\-2 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} \notin M. $$

Keine Abgeschlossenheit.
Das Vektorraum bzw. Unterraumaxiom der Abgeschlossenheit ist somit verletzt. Und genau aus diesem Grund ist \(M\) kein Vektorraum und insbesondere kein Unterraum von \(\mathbb{R}^2.\)
Aber ich gebe mich noch nicht geschlagen, ich bin klever und erweitere, also füge Vektoren zu meiner Teilmenge \(M\) hinzu bis Abgeschlossenheit herrscht.

Teilmenge erweitert bis Abgeschlossenheit erreicht ist. 
Nun habe ich \(M\) so erweitert damit ich mit allen Ihren Elementen die sie beinhaltet uneingeschränkt rechnen kann so dass bei jeder möglichen Addition (auch Mehrfachaddition) und jeder möglichen Skalarmultiplikation stets wieder ein Element aus \(M\) resultiert. Jetzt ist \(M\) bezüglich Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Durch das Erwetiern, habe ich nichts anderes getan als einen Vektorraum \(M\) kreiert.
Ich habe, um präziser zu sein einen Untervektorraum \(M\) von \(\mathbb{R}^2\) kreiert, da ich Elemente aus dem \( \mathbb{R}^2 \), was ja schon ein Vektorraum ist, gebraucht habe. 

M ist Unterraum von \(\mathbb{R}^2\). 

Dieser noch Namenlose Unterraum \(M\) heisst ab sofort Span \(M\) oder Erzeugnis \(M\) oder Hülle von \(M\). 

Fragen:
Meine Teilmenge \(M\) ist jetzt der Unterraum \(M\). Du sagst er, also \(M\)  heisst aber auch "Span", "Erzeugnis" oder "lineare Hülle".

(1) Ist das so, weil er alle Vektoren, die durch Linearkombination durch seine Elemente auch enthält? 
(2) Wenn die Basis von M gesucht ist, würde ich alle Vektoren von M in eine Matrix packen und die linear abhängigen eliminieren, richtig ?

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Ich glaube ich hab es verstanden, ich muss umdenken. 

\(\mathbb{R}^3\) ist die Linearehülle  von der Teilmenge \(B =  \{e_1, e_2, e_3\},\) 
wobei \(e_1, e_2, e_3 \in \mathbb{R}^3.\)

\(\mathbb{R}^2\) ist die Linearehülle  von der Teilmenge \(B =  \{e_1, e_2\}.\)
wobei \(e_1, e_2 \in \mathbb{R}^2.\)

\(\mathbb{R}\) ist die Linearehülle  von der Teilmenge \(B =  \{e_1\}.\)
wobei \(e_1 \in \mathbb{R}.\)


Fazit:
Lineare Hülle = Span = Erzeugnis ist nicht die Teilmenge selbst, die en Vektorraum bilden, sondern der Vektorraum selbst. Ja?

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Bei deinen Beispielen schon, aber wenn du z.B in R^3 die

lineare Hülle von e₁ allein , also <e₁> betrachtest, dann

sind das alle Elemente von R3 , die in der

ersten Komponente irgendeine Zahl haben

und in der 2. und 3. je eine 0.

Das ist dann ein "echter" Unterraum von R^3.