Wie berechnet man mit dem Quotientenkriterium n!/n^n

Question

Aufgabe:

Wie berechnet ich mit dem Quotientenkriterium  n!/n^n

Answer 1

1/e <1 ->konvergent

Answer 2

a(n + 1) / a(n) = ((n + 1)! / (n + 1)^(n + 1)) / (n! / n^n)

= ((n + 1)! / (n + 1)^(n + 1)) * n^n / n!

= n!*(n + 1) / (n + 1)^(n + 1)) * n^n / n!

= (n + 1) / (n + 1)^(n + 1)) * n^n

= 1 / (n + 1)^n) * n^n

= n^n / (n + 1)^n

= (n / (n + 1))^n

= ((n + 1) / n)^(-n)

= (1 + 1/n)^(-n)

lim n --> ∞

= e^(-1) < 1 → konvergent

Answer 3

Ich interpretiere mal: Du sollst die Reihe mit den Gliedern   n! / (n^n )  auf Konvergenz untersuchen

und willst das Quotientenkriterium benutzen.

Dazu betrachtest du a_n+1 / an =  ( (n+1)!/ (n+1)^(n+1) ) /   ( n! / (n^n ) )

=   ( (n+1)!  n^n  /  (n+1)^(n+1) )*n! )

Die Fakultäten kannst du überwiegend kürzen

=   ( (n+1)  n^n  /  (n+1)^(n+1) )  und einmal das n+1 kürzen

=   (  n^n  /  (n+1)^n )

= (n/(n+1))^n

= 1 / ( 1 +1/n) ^n

Der Nenner geht für n gegen unendlich gegen e, also

dieser Term gegen 1/e < 1 ==> Reihe konvergiert !