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Berechnung der maximal zulässigen Streckenlänge \(s\)
Um die maximale Länge der Strecke \(s\), die unter gegebenen Bedingungen zulässig ist, zu berechnen, müssen wir die Beziehung zwischen der Querabweichung \(q\), der Standardabweichung der Richtung \(\sigma_{\theta}\) und der Entfernung \(s\) betrachten.
Die Querabweichung \(q\) kann mit folgender Formel ermittelt werden:
\(
q = s \cdot \tan(\delta\theta)
\)
wobei \(\delta\theta\) der Winkelfehler ist. Da die Standardabweichung der Richtung \(\sigma_{\theta} = 1,1\) mgon gegeben ist, und die Einheit mgon (Milligon) sehr klein ist, kann für kleine Winkel der Tangens des Winkels als sein Radiantwert genähert werden. Ein Gon (aus dem Griechischen für Winkel), auch als Grad mit 400 pro Kreis definiert, wird in manchen Anwendungsbereichen statt des üblichen Grades verwendet. Dabei entsprechen \(200\) Gon einem rechten Winkel oder \(\pi/2\) Radiant. Um Milligon in Radiant umzurechnen, verwenden wir die Tatsache, dass \(200 \times 10^{3}\) mgon = \(\pi/2\) Radiant sind. Daher ist
\(
1\, \text{mgon} = \frac{\pi}{2 \times 200 \times 10^{3}} \, \text{Radiant}
\)
Da \(\sigma_{\theta} = 1,1\) mgon, ist
\(
\sigma_{\theta} = 1,1 \cdot \frac{\pi}{2 \times 200 \times 10^{3}} = \frac{1,1\pi}{400000} \, \text{Radiant}
\)
Weil \(q\) in derselben Größenordnung wie die Standardabweichung \(\sigma_s = 11\) mm liegen soll, setzen wir \(q = \sigma_s\).
Also,
\(
11\, \text{mm} = s \cdot \frac{1,1\pi}{400000}
\)
Um \(s\) zu finden, lösen wir die Gleichung nach \(s\) auf:
\(
s = \frac{11 \times 400000}{1,1\pi}
\)
\(
s = \frac{4000000}{\pi} \approx \frac{4000000}{3,14}
\)
\(
s \approx 1273885,35\, \text{mm}
\)
\(
s \approx 1273,89\, \text{m}
\)
Also, die maximale Länge der Strecke \(s\), die unter gegebenen Bedingungen zulässig ist, ist ungefähr \(1273,89\) m.
