Aufgabe:
Sei \(A \in \mathbb{R}^{m \times n} \) mit \(a_{i,j}=i+j\) für alle \((i,j) \in [m] \times [n]\).
$$A=\begin{pmatrix}a_{1,1} &\dots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & \dots & a_{m,n} \end{pmatrix}$$
Bestimme den Rang von \(A\) mit \(m,n>0\).
Problem/Ansatz:
\(a_{i,j}=i+j\) heißt, dass die Matrix wie folgt aussieht:
$$A=\begin{pmatrix}2_{1,1} & 3_{1,2}&\dots & 1+n_{1,n}\\ 3_{2,1}&4_{2,2} &\dots & 2+n_{2,n}\\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\ m+1_{m,1} & m+2_{m,2} &\dots &m+n_{m,n} \end{pmatrix}$$
Um den Rang zu bestimmen, forme ich die Matrix in die ZSF um:
$$A=\begin{pmatrix}2 & 3 & \dots & 1 + n \\ 0 & -\frac{1}{2} & \dots & \frac{1 - n}{2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \frac{7 - m}{2} & \dots & \frac{-m + 1 - nm + n}{2} \end{pmatrix}$$
Nun weiß ich aber nicht mehr weiter. Ich müsste ja jetzt \(m\)-Mal elementare Umformungen machen, damit ich jedes Pivotelement abgearbeitet habe und ich dann den Rang bestimmen kann. Könnt ihr mir da weiterhelfen? (Vllt gibt es ja auch andere Möglichkeiten?)
