Lineare Algebra - Besitzt jeder Vektorraum ein Erzeugendensystem?

Question

Aufgabe:

Bestitzt jeder Vektorraum ein Erzeugendensystem ? 

Meine Antwort: 

Ja, es gibt zwei Begründungen dafür: 

Erste.
Die leere Menge erzeugt per Definition den "Nullvektor". (oder heisst die Menge die den Nullvektor enthält Nullraum??)
\( ⟨∅⟩ = \{0_v\} .\) Folglich erzeugt auch eine leere Menge, also eine Menge ohne Elemente einen Vektorraum. Weil das so ist, können wir sagen, dass in diesem Fall das Erzeugendensystem des Nullraums die Leere Menge ist, also besitzt auch der Nullraum ein Erzeugendensystem. 

Zweite. 
Abgesehen von der ersten Begründung erzeugt eine nichtleere Teilmenge X, also eine Teilmenge X mit mindestens einem Element \(x_1\), durch Linearkombination von den in  X enthaltenen Elementen einen Vektorraum. 

Fazit: 
Folglich muss jedem Nullraum, was auch ein Vektorraum ist (falls die Menge die den Nullvektor enthält "Nullraum" heisst) und  Vektorraum ein Erzeugendensystem zugrunde liegen. 


Buchlösung: 
Ja. Der Vektorraum selbst ist stets Erzeugendensystem des Vektorraums.


Frage:
Ich frage mich ob ich völlig vom Weg abgekommen bin mit meiner Antwort. Weil die Buchlösung simpel und logisch ist. 

Ich denke die Buchlösung will sagen, dass ein Vektorraum, also die Menge aller Linearkombinationen einer Teilmenge X zwanghaft auch seine Basen enthalten muss. Seine Basen wären einfach die linear unabhängigen Elemente vom betreffenden Vektorraum, also das minimale Erzeugendensystem.
In der Frage fragt der Autor aber lediglich nach einem Erzeugendensystem und dieses ist (ohne es formal zu bestätigen oder bestätigt zu haben) gezwungenermassen bereits im Vektorraum enthalten.  

Answer 1

Ein Erzeugendensystem des reellen Vektorrraums V = Rⁿ besteht aus den sogenannten Standardbasisvektoren:

e₁=(1,0,0,0,....,0)

e₂=(0,1,0,0,....,0)

e₃=(0,0,1,0,....,0)

..........

e_n=(0,0,0,0,....,n)

Comments

Ja, klar. Aber was sagst du zu meiner Antwort, ist sie falsch ? ODer zu unpräzise im Vergleich der Mustelösung.

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Du wolltest also nicht die Frage in deiner Überschrift beantwortet haben, sondern die Frage, ob deine eigene Antwort darauf richtig ist. Darauf wollte ich wiederum nicht antworten.

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Du wolltest also nicht die Frage in deiner Überschrift beantwortet haben

Das tut deine Antwort aber überhaupt nicht.

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Ja,  mich interessiert vor allem, ob ich das was ich von der Theorie lese, richtig verstanden habe.

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Deine eigene Lösung scheint mehr die Frage zu beantworten, ob jede Menge Erzeugendensystem irgend eines Vektorraumes sei.

Du gehst nämlich von einer Menge (eventuell sogar der leeren) aus und untersuchst, ob diese Menge einen Vektorraum erzeugt.
Laut Fragestellung sollst du aber von einem Vektorraum ausgehen und die Frage untersuchen, ob es zu diesem Vektorraum ein Erzeugendensystem E (das muss kein linear unabhängiges, also keine Basis sein) gibt. Die Antwort auf diese Frage ist einfach "ja", denn man kann E = V nehmen, wie das Buch es tut.

Die Frage, ob jeder Vektorraum eine Basis hat, ist demgegenüber sehr viel schwerer zu beantworten (die Antwort lautet übrigens ebenfalls "ja").

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Super, vielen Dank  !

Ich dachte meine Antwort hätte gleiches Bedeutet, 

Also wenn die Frage ist ob jeder Vektorraum ein Erzeugendensystem hat, drehe ich es um und zeige, dass jedes Erzeugendensystem einen Vektorraum bilden kann. 

Aber so differenziert habe ich es nicht angeschaut, stimmt. 

Ich danke dir viel mal !