Sind die Relationen transitiv, symmetrisch, anti-symmetrisch oder transitiv. Bsp. k,l ∈ℤ, kRl: ⇔ k²≥l²

Question

prüfe ob folgende relationen reflexiv, symmetr. antisymm. oder transitiv sind.

a.) k,l ∈ℤ, kRl: ⇔ k²≥l²

b.) k,l ∈ℚ, kRl: ⇔es existiert ein a∈ℚ-{0} mit k=al

ich habe die einzelnen Deifnitionen für reflexiv, transitiv,.. verstanden habe aber schwierigkeiten das Mathematisch korrekt aufzuschreiben und anzuwenden.

zu a.) ist das ≥ zeichen ja eigentlich immer reflexiv weil a≥a

aber was schreib ich da bei dieser Aufgabe: k²≥k²? oder k≥k? und was nehmn bei der Transitivität? da brauche ich doch 2 relationen aus denen ich eine dritte schließen kann. Jetzt habe ich aber nicht k,l,m sondern nur k und l. Was tut ich da?....

Bitte helft mir :)

Comments

l eignet sich nicht als Variable. Da I wie | aussieht. Nimm lieber etwas anderes. Vielleicht m? Oder eine andere Schrift.

Answer 1

Eine Relation ist ja einfach eine Teilmenge des kartesischen Produktes der Grundmengen, in deinem Fall Z x Z. Das heisst, die Elemente der Relation sind geordnete Tupel (a,b) mit a, b in Z, wobei a in Relation zu b steht (mit der vorgegebenen Vorschrift).

Also wenn bei a) $$k, l \in \mathbb{Z}, kRl \Leftrightarrow k^2 \geq l^2$$, dann sind alle Tupel (a,b) mit a,b in Z in der Relation enthalten, wo a^2 >= b^2 ist, z.B. (2,2), weil 2^2 >= 2^2, oder (4,2), weil 4^2 >= 2^2, aber z.B. nicht (2,4), weil 2^2 nicht größer gleich 4^2 ist.

Bei a hast du richtig erkannt, dass die Relation reflexiv ist, denn $$k = l \Rightarrow k^2 \geq k^2 \Rightarrow kRk$$.

Wenn sie symmetrisch ist, muss gelten $$\forall a,b \in \mathbb{Z}, a \neq b: aRb \Rightarrow bRa$$. Da reicht ein Gegenbeispiel, um zu zeigen, dass dies nicht so ist, denn wenn a = 4, b = 2, dann ist a^2 >= b^2 bzw. 4^2 >= 2^2, also aRb, aber nicht bRa, weil b^2 >= a^2 bzw. 2^2 >= 4^2 falsch ist. Somit gilt es nicht für alle a,b in Z.

Sie ist auch nicht antisymmetrisch, da $$\forall a,b \in \mathbb{Z}: aRb \land bRa \Rightarrow a = b$$, (-4)^2 >= 4^2, also (-4)R4 und 4^2 >= (-4)^2, also 4R(-4), aber 4 ist nicht gleich -4.

Für die Transitivität muss man zeigen $$\forall a,b,c \in \mathbb{Z}: aRb \land bRc \Rightarrow aRc$$, also wenn z.B. 4^2 >= 2^2 und 2^2 >= 1^2, muss 4^2 >= 1^2 sein. Das gilt auch allgemein (Transitivität der ganzen Zahlen).


Versuch dich nochmal an b. Es ist nicht soo kompliziert, man muss es nur einmal verstanden haben.

Comments

Vielen dank ich versuche es

ZITAT:

dann sind alle Tupel (a,b) mit a,b in Z in der Relation enthalten, wo a^2 >= b^2 ist, z.B. (2,2), weil 2^2 >= 2^2, oder (4,2), weil 4^2 >= 2^2, aber z.B. nicht (2,4), weil 2^2 nicht größer gleich 4^2 ist.

--versteh ich, muss ich das irgendwie notieren oder daraus etwas folgern oder war dies nur zum besseren verständnis gedacht? (hat mir sehr geholfen vielen dank)


liebe grüße