Question

Beweisen Sie die folgende Identität durch nachrechnen:

$$\sum _ { k = 0 } ^ { m } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { n - k } \\ { m - k } \end{array} \right) = 2 ^ { m } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { m } \end{array} \right)$$

Answer 1

$$\quad\sum_{k=0}^m\binom nk\binom{n-k}{m-k}$$$$=\sum_{k=0}^m\frac{n!}{k!\color{#c00}{(n-k)!}}\cdot\frac{\color{#c00}{(n-k)!}}{(m-k)!(n-m)!}$$$$=\sum_{k=0}^m\frac{n!}{\color{#00f}{m!}(n-m)!}\cdot\frac{\color{#00f}{m!}}{k!(m-k)!}$$$$=\sum_{k=0}^m\binom nm\cdot\binom mk$$$$=\binom nm\cdot\sum_{k=0}^m\binom mk\color{#00f}{\cdot1^{m-k}\cdot1^k}$$$$=\binom nm\cdot(1+1)^m$$$$={\color{#00f}{2^m\cdot\binom nm}}$$

Answer 2

\( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \) =\( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

\( \begin{pmatrix} n-k\\m-k \end{pmatrix} \) =\( \frac{(n-k)!}{(n-k)!(n-m)!} \)

Das Produkt nach Kürzen: \( \frac{n!}{k!(m-k)!(n-m)!} \)

Weiter weiß ich nicht. Vielleicht hilft es dir trotzdem?