Bestimmen SIe die n-te Ableitung von f(x) = 1 / (1-2x) für alle n Element N_{o}

Question

ich habe versucht bei folgender Funktion ein Muster in den ersten 5 Ableitungen zu erkennen, aber leide komme ich nicht weiter und benötige die n-te Ableitung, um die Taylorreihe zu bestimmen.

Bestimmen SIe die n-te Ableitung von f(x) = 1 / (1-2x) für alle n Element N_{o}

Answer 1

f(x) = 1 / (1 - 2x)

f'(x) = 2 * 1/(1 - 2·x)^2

f''(x) = 2^2 * 2 * 1/(1 - 2·x)^3

f'''(x) = 2^3 * 2 * 3 * 1/(2·x - 1)^4

fⁿ(x) = 2^n * n! * 1/(2·x - 1)^(n + 1)

Answer 2

Bestimmen SIe die n-te Ableitung von f(x) = 1 / (1-2x) für alle n Element N_{o}

f(x) = (1-2x)^(-1)

f '(x) = (-2) *(-1) (1-2x)^(-2) =  (2) *(1) (1-2x)^(-2)

f '' (x) = (-2)^2 (-1) (-2) * (1-2x)^(-3) =  (2)^2 (1) (2)* (1-2x)^(-3)

f '''(x) = (-2)^3  *(-1)(-2)(-3) (1-2x)^(-4) =  (2)^3  *(1)(2)(3) (1-2x)^(-4) =  (2)^3  *3! (1-2x)^(-4)

Allgemeine Vermutung

f ^{(n)} (x) = (2)^n *n! * (1-2x)^(-n-1)

Comments

wie bestimmt man den Konvergenzradius T[f,0](x) für diese Reihe .

f^{(n)} (x) = (-2)^{n} * (1-2x)^(-n-1) 

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Hallo Lu, du hast bei der äußeren Ableitung die Faktoren (-3), (-4) usw. vergessen, siehe Mathecoach.

ab98, wenn du das Ergebnis von Mathecoach nimmst, dann ist

f(x)= Summe (n=0 bis unendlich)

2^n * n! *(1-2*0)^{n-1} *x^n /n!

=Summe (n=0 bis unendlich)

2^n x^n

= Summe (n=0 bis unendlich) (2x)^n

Siehe meine Antwort bei deiner anderen Frage.

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@jc2144: Danke. Nun sind die viele Minus schön weggefallen. Und der Rest hat sich dank deiner Antwort bei der andern Frage von ab98  bestimmt auch erledigt.

oder auch bei https://www.mathelounge.de/639965/bestimmen-sie-die-te-ableitung-von-1-1-2x-fur-alle-n-element-n?show=639969#a639969

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Ergänzung:

Die vorgegebene Funktionsgleichung erinnert doch sehr stark an die Summenformel der geometrischen Reihe mit q=2x.

Somit kann f(x) auch in der Form 1+2x+(2x)²+(2x)³ + ...

dargestellt werden. Das hilft zwar nicht unbedingt für die n-te Ableitung, aber es ist für eine Taylorreihe hilfreich.