Binomialkoeffizienten: Eine Identität und eine Summenformel beweisen

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen für n,k ∈ N mit 1 ≤ k ≤ n Sie die Formel:

$$k\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}=n\begin{pmatrix} n-1\\k-1 \end{pmatrix}$$

(1) unter Verwendung der expliziten Darstellung von Binomialkoeffizienten;

(2) indem Sie die Anzahl Möglichkeiten, aus n Studierenden ein Studierendenparlament
aus k Studierenden zusammenzustellen und daraus einen Vorsitzenden zu wählen,
doppelt abzählen.

(b) Beweisen Sie für n ∈ N \ {0} die Formel

$$\sum \limits_{k=1}^{n}k\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}=n*2^{n-1}$$

Answer 1

$$\sum_{k=1}^nk\binom nk=\sum_{k=1}^nn\binom{n-1}{k-1}=n\sum_{k=0}^{n-1}\binom {n-1}k=n(1+1)^{n-1}.$$

Answer 2

(a) Teile die Behauptung du k. Dann hast du rechts einen Faktor (n/k), den du mit dem Fakultätsausdruck für den Rest verrechnen kannst.

Bei (b) kannst du dann die Identität aus (a) benutzen.

Answer 3

1) Rechne die rechte Seite aus. Es gilt: (n-1)! = n!/n , analog (k-1)!