Summenformel mit Binomialkoeffizienten und Resultat (30 tief 15) beweisen

Question

Nabend allerseits,

Ich habe bei dieser Aufgabe leider meine Probleme. Das rechnen fällt mir jetzt nicht schwer, aber ich weiß nicht was ich mit diesem Ausdruck zu anfangen hab.

Aufgabe:

Zeigen Sie folgende Aussage über Binomialkoeffizenten:

$$ \sum \limits_{k=0}^{15}\begin{pmatrix} 15\\k \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 30\\15 \end{pmatrix} $$

Hinweis: Verwenden Sie den Binomischen Lehrsatz an drei Stellen der Gleichung:

(1 + x)¹⁵ * (1 + x)¹⁵ = (1 + x)³⁰

LG

Comments

Mein Vorschlag:

Zeige stattdessen $$ \sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix} $$ durch vollständige Induktion.

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War auch mein Gedanke, aber bei dem Hinweis steht ja im Grunde eig, dass man es mit den Zahlen machen soll, oder?

Answer 1

siehe

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient

unter Vandermon-Identität

Comments

Naja unter "Vandermondesche Identität" steht ja nicht wirklich wie man diesen Term umformen kann und das ist ja mein Anliegen. (oder sehe ich das falsch)

LG

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Da steht doch:

Ein oft als einfacher empfundener Beweis verwendet den Binomischen Lehrsatz in der Form

$${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}}$$,
sowie den Ansatz

$${\displaystyle (1+x)^{m}(1+x)^{n}=(1+x)^{m+n}}$$
und Koeffizientenvergleich.

Im Spezialfall $${\displaystyle k=m=n}$$ ergibt sich aus der Vandermondeschen Identität folgende Formel für die Quadratsummen:...

Hast du den Koeffizientenvergleich schon mal durchgeführt?

Du kannst auch die beiden linken Klammern mal explizit hinschreiben und ausmultiplizieren. Interessant ist ja nur der Faktor vor x^30 ! Wenn ich am Rechner bin kann ich es mit latex aufschreiben.

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Wäre sehr hilfreich

Answer 2

Binomischen Lehrsatz verwenden:

(1 + x)^{15 }* (1 + x)^{15} = (1 + x)^{30}

Vielleicht ist das so gemeint:

(30 tief 15) ist die Anzahl der 15-elementigen Teilengen einer 30-elmentigen Menge.

Diese kann man zählen, wenn man die Grundmenge in 2 Teilmengen A und B mit je 15 Elementen unterteilt und dann jeweils k Elemente von A und dann unabhängig vom Anfang (15-k) Elemente von B wählt. (Produktregel für die Summanden in der Summe links). k läuft von 0 bis 15.

Bei den Summanden wird noch die Symmetrie der Binomialkoeffizienten verwendet. D.h. (15 tief k) = (15 tiel (15-k)) für k = 0 bis 15.

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