P-fast sichere Konvergenz und P-stochastische Konvergenz

Question

Ich habe gerade in der Vorlesung die Konvergenzbegriffe P-fast sicher und P-stochastisch kennengelernt und scheitere dabei prompt an einer Aufgabe. Ich stelle sie einfach mal vor und sage dann was ich nicht verstehe.

Sei (X_n)_n∈ℕ eine Folge von ZUfallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Α,P). Zu zeigen ist dann, dass aus

P({ω ∈ Ω : lim_n→∞ X_n(ω) = ∞ }) = 1

folgt, dass für jedes c > 0 gilt, dass P(X_n<= c) → 0 für n → ∞.


Meiner Meinung nach handelt es sich bei dem zu zeigenden doch um stochastische Konvergenz. Aber dabei hört es auch schon auf, da ich die Aufgabe an sich nicht verstehe. Meine Vorgabe ist doch schon fast sichere Konvergenz dafür, dass die Folge der Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeit 1 gegen Unendlich geht. Dann ist es doch klar, dass die Wahrscheinlichkeit für den Verbleib der Zufallsvariablen unterhalb einer Schranke 0 sein muss. Oder verstehe ich hier was falsch? Was soll ich also zeigen? Und vor allem wie?

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P-fast sichere Konvergenz und P-stochastische Konvergenz

Um dein Verständnisproblem zu klären, gehen wir Schritt für Schritt durch die Aufgabe und die Begriffe, die du genannt hast.

P-fast sichere Konvergenz bedeutet, dass ein Ereignis fast sicher eintritt, wenn es mit Wahrscheinlichkeit 1 eintritt. Die Definition lautet:

\( P(\{\omega \in \Omega : \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = \infty\}) = 1 \)

Dies bedeutet, dass der Grenzwert der Folge von Zufallsvariablen \(X_n\) für fast alle \(\omega\) in \(\Omega\) gegen \(\infty\) geht, und dieses Ereignis tritt mit Wahrscheinlichkeit 1 ein.

P-stochastische Konvergenz, auch bekannt als Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariablen sich von einem bestimmten Wert um mehr als einen beliebig kleinen Wert \(\epsilon\) unterscheiden, gegen 0 geht, wenn \(n\) gegen Unendlich geht. Formal:

\( \lim_{n \to \infty} P(|X_n - c| > \epsilon) = 0 \)

für jedes \(\epsilon > 0\). Aber was du zeigen sollst, entspricht nicht exakt dieser Definition, sondern der Aussage, dass \(P(X_n \leq c)\) gegen 0 geht für \(n \to \infty\), was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass \(X_n\) unter einer bestimmten Konstante \(c\) bleibt, gegen 0 geht.

Der Zusammenhang zwischen der P-fast sicheren Konvergenz \(X_n \to \infty\) und der stochastischen Konvergenz in dem Sinne, dass \(P(X_n \leq c) \to 0\), erscheint intuitiv klar – wenn die Werte von \(X_n\) fast sicher gegen \(\infty\) streben, sollte die Wahrscheinlichkeit, dass sie unter irgendeiner fixierten Schranke \(c\) bleiben, mit wachsendem \(n\) gegen 0 gehen.

Um das formell zu zeigen, verwenden wir die Annahme:

\( P(\{\omega \in \Omega : \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = \infty\}) = 1 \)

Betrachte das Komplementärereignis:

\( P(\{\omega \in \Omega : \exists c > 0, \limsup_{n \to \infty} X_n(\omega) \leq c\}) \)

Die Wahrscheinlichkeit des o.g. Ereignisses muss 0 sein, weil dessen Wahrscheinlichkeit das Komplement zur Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist, dass \(X_n \to \infty\) fast sicher, und dessen Wahrscheinlichkeit ist 1.

Daher, für jedes \(c > 0\), betrachte das Ereignis, dass \(X_n \leq c\) für unendlich viele \(n\). Wenn der Limes superior von \(X_n(\omega)\) für ein \(\omega\) kleiner oder gleich \(c\) ist, bedeutet dies, dass \(X_n(\omega)\) unterhalb dieses \(c\) für unendlich viele \(n\) bleiben kann. Da jedoch die Fast-Sicherheit von \(X_n \to \infty\) besagt, dass dies nur mit Wahrscheinlichkeit 0 passiert, folgt, dass für alle \(c > 0\):

\( \lim_{n \to \infty} P(X_n \leq c) = 0 \)

Dein Verständnis, dass die stochastische Konvergenz (in diesem speziellen Fall die Folge, dass Wahrscheinlichkeiten gegen 0 gehen) aus der fast sicheren Konvergenz (hier die Konvergenz gegen Unendlich) folgt, ist korrekt. Diese Aufgabe verdeutlicht, wie ein stärkerer Konvergenzbegriff (fast sichere Konvergenz) Implikationen für einen schwächeren Konvergenzbegriff (stochastische Konvergenz) haben kann.