Sind Mengen immer gleichmächtig, wenn zwischen ihnen eine bijektive Abbildung besteht?

Question

Ich habe eine Frage zu bijektiven Relation.

In der Vorlesung hatten wir folgende bijektive (surjektiv, injektiv und total) Relation als Beispiel genannt:

R={(x,y), (y,z), (z, x), (z,a)} mit R ⊆ AxB und A={x, y, z} bzw. B={x, y, z, a}.

Im Internet habe ich nun gefunden, dass |A| = |B| gilt, genau dann wenn es eine bijektive Abbildungen zwischen den beiden Mengen gibt. Jedoch sieht man ja in dem Beispiel oben, dass die beiden Mengen A und B nicht gleich mächtig sind.

Wo ist mein Denkfehler?

Answer 1

https://de.wikipedia.org/wiki/Injektive_Funktion

(z, x), (z, a) ist schon keine Funktion bzw. Abbildung, weil bei einer Funktion jedem Element der  Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge zugeordnet wird.

Deinem z der Ausgangsmenge werten aber zwei Elemente der Zielmenge zugeordnet. Das darf bei einer Funktion bzw. Abbildung nicht sein.

Comments

Hmm, in der Definition ist also x₁ = z und x₂ = z, also ist f(x₁) = x und f(x₂) = a. Da jedoch a ≠ x ist, ist die Vorbedigung ja falsch und somit die Aussage wahr. Also ist es doch trotzdem injektiv, oder?

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Ich habe den Fehler gefunden

Im Internet habe ich nun gefunden, dass |A| = |B| gilt, genau dann wenn es eine bijektive Abbildungen zwischen den beiden Mengen gibt.

Bei einer Abbildung wird jedem Element der Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge zugeordnet.

Bei dir werden dem z aber 2 Elemente der Zielmenge zugeordnet. Damit ist es keine Abbildung mehr.

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Oh man, ja stimmt, vielen Dank!

Answer 2

Es ist nicht zu verstehen, warum R={(x,y), (y,z), (z, x), (z,a)} mit  A={x, y, z} bzw. B={x, y, z, a} ein Beispiel für eine bijektive Relation ist. Meiner Meinung nach hat dein Internet recht, wenn es sagt, dass |A| = |B| gilt, genau dann wenn es eine bijektive Abbildungen zwischen den beiden Mengen gibt.

Comments

Unsere Definition von bijektiv war die folgende:

Eine Relation R ist bijektiv, wenn sie surjektiv, injektiv und total ist.

R ist injektiv, wenn gilt:

x₁,x₂ ∈ A und y₁,y₂ ∈ B, falls (x₁,y₁) ∈ R und (x₂,y₂) ∈ R und x₁ ≠ x₂ ==> y₁ ≠ y₂

Diese Eigenschaft sollte in der Beispielrelation ja erfüllt sind.

R ist surjektiv, wenn gilt:

∀y∈B∃x∈A : (x,y)∈R

Sollte ebenfalls gelten.

R ist total, wenn gilt:

∀x∈A∃y∈B : (x,y)∈R

Sollte auch gelten.

Demnach müsste R ja eine bijektive Relation sein.

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In der Relation R={(x,y), (y,z), (z, x), (z,a)} hat z∈A zwei Bilder in B. Wenn R bijektiv ist, fresse ich einen Besen.

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Wegen {(z, x), (z,a)} ⊆ R ist R nicht rechtseindeutig, also gar keine Abbildung.

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Achso... Stimmt, es geht ja um Abbildungen, die zusätzlich noch rechtseindeutig sein müssen. Das heißt für bijektive Relationen, die nicht rechtseindeutig sind (also keine Funktionen), gilt nicht, dass |A|  = |B|?