Zeige das tan(...) gleich

Question

Aufgabe:

Zeige das tan(\( \frac{π}{8} \)) =\( \sqrt{2} \) -1 ist.

Problem/Ansatz:

hey ich komme leider nicht drauf wie ich das Mathematisch beweisen kann (ohne Taschenrechner)

kann mir da mal jemand den Rechenweg aufzeigen.

Answer 1

Zeichne in einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck mit

Kathetenlänge 1 dieWinkelhallbierende eines 45° Winkels ein.

~draw~ polygon(0|0 -8|0 0|8 0|0);;strecke(-8|0 0|3.3);zoom(10) ~draw~

Dann wird die andere Kathete in zwei Teile geteilt. Oben y und unten x

und die Summe der Teile ist x+y=1 also y=1-x.  #

Die Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite

im Verhältnis der anliegenden Seiten, also

y / x = √2  / 1 ==>   y = x √2   zusammen mi # also

  1-x  = x √2

<=>  1 = x + x √2    = x * (1+√2   )

<=>  x = 1 / (1+√2   )  =  √2   - 1 .

Und mit tan = Gegenkathete / Ankathete also

tan(22,5°) = ( √2   - 1 ) / 1 = √2   - 1     q.e.d.

Answer 2

Verwende:

tan(α/2)= (1-cos(α))/ sin(α)

Answer 3

Du könntest die Additionstheoreme für halbe Winkel nutzen.

Du könntest aber auch eine Winkelhalbierende konstruieren

Dazu nehmen wir einen Vektor mit dem Winkel 0 und einen Vektor mit dem Winkel von 45 Grad zur horizontalen

[1, 0] + [√2/2, √2/2] = [√2/2 + 1, √2/2]

Die Steigung wäre jetzt

m = (√2/2) / (√2/2 + 1) = √2 - 1

Answer 4

zeige die Gültigkeit der Halb Winkel Formel des Tangens:

tan(x/2)=sin(x)/(1+cos(x))

und setze dann x=pi/4