Punkte mit minimalem Abstand zum Ursprung

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Menge F aller Punkte (x, y, z) ∈ R3, die die Gleichung x^2 − xy + y^2 + 2z^2 = 4
erfüllen.

Bestimmen Sie alle Punkte aus F mit minimalem Abstand zum Nullpunkt.

Problem/Ansatz:

Also ich weiß dass man das mit den Lagrange-Multiplikatoren berechnen muss nur man braucht Dafür eine hauptbedingung f(x,y,z)und eine nebenbedingung g(x,y,z)..

Mein NB wäre dann g(x,y,z)=x^2 − xy + y^2 + 2z^2 = 4 und meine Frage ist dann was meine hauptbedingung ist also f.

Answer 1

Deine Hauptbedingung ist der Abstand eines Punktes der Funktion zum Ursprung, also

$$\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$$

Du kannst aber auch die Wurzel weglassen, dann wird es einfacher:

$$f(x,y,z)={x^{2}+y^{2}+z^{2}}$$

Beachte, dass die Nebenbedingung 0 sein muss, also g(x,y,z)=x² − xy + y² + 2z²- 4 =0

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2+on+x%5E2+%E2%88%92+x*y+%2B+y%5E2+%2B+2*z%5E2+%3D+4

Answer 2

f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=r^2 wäre zu minimieren (mit dem Quadrat des Abstandes lässt sich leichter rechnen)

Comments

Also wären f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=r^2

Und g(x,y,z)=x^2 − xy + y^2 + 2z^2 = 4

Und mit der Lagrange Funktion

L(x,y,z)=f+lambda*g und dann nach x,y,z und lambda ableiten und gleich 0 setzen?

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Hast du schon eine Lösung ? Sitze an der gleichen Aufgabe

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Die Nebenbedingung musst du vorher umformen zu g(x,y,z)=0

Ansonsten alles richtig, der nächste Schritt sind die partiellen Ableitungen.

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Ja das meine ich auch.. alles klar vielen Dank :)