Aloha :)
Wir suchen den Punkt \(Q(x|y)\), der auf dem Graphen der Funktion$$f(x)=-x^2+4\quad;\quad x\in[0;2]$$liegt und den minimalen Abstand vom Ursprung hat. Da \(Q\) auf dem Graphen liegen soll, muss \(x\in[0;2]\) liegen und der \(y\)-Wert ist gleich dem Funktionswert \(y=f(x)\) an der Stelle \(x\):$$Q(x|y)=Q(x|-x^2+4)$$Nach Pythagoras ist der Abstand \(d\) dieses Punktes vom Ursprung:$$d(x)=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+(-x^2+4)^2}=\sqrt{x^2+(x^4-8x^2+16)}=\sqrt{x^4-7x^2+16}$$
Damit wir die Wurzelfunktion nicht weiter berücksichtigen müssen, nehmen wir den Tipp an, dass eine Wurzelfunktion minimal ist, wenn ihr Argument minimal ist. Zur Bestimmung des Minimums von \(d(x)\) reicht es also, das Minium von$$g(x)\coloneqq x^4-7x^2+16$$zu bestimmen. Kandidaten für solche Minima finden wir dort, wo die Ableitung von \(g(x)\) verschwindet:$$0\stackrel!=g'(x)=4x^3-14x=4x\left(x^2-\frac72\right)=4x\left(x-\sqrt{\frac72}\right)\left(x+\sqrt{\frac72}\right)$$Da wir ein \(x\) zwischen \(0\) und \(2\) suchen, heißt under Kandidat:\(\quad x_0=\sqrt{\frac72}\).
Wir prüfen den Kandidaten, indem wir ihn in die zweite Ableitung einsetzen:$$g''(x_0)=12x_0^2-14=12\cdot\frac72-14=28>0\implies\text{Minimum}$$Der zugehörige Funktionswert ist \(y_0=f(x_0)=-\frac72+4=\frac12\) und der Punkt ist:$$Q\left(\sqrt{\frac72}\bigg|\frac12\right)$$
~plot~ -x^2+4 ; {0|0} ; {sqrt(7/2)|1/2} ~plot~
