Abstand zum Ursprung minimal (in Abhängigkeit von k)

Question

Der lokale Hochpunkt des Graphen f_k ist in Abhängigkeit von k gegeben durch H_k ( k-1 | e^-k(2+k²)

Ermitteln Sie den Wert von k mit 0,5 ≤ k ≤ 10, für den der Abstand des Hochpunktes H_k zum Ursprung minimal ist.

Meine Idee war, die Schleife zur Vektorgeometrie zu schlagen, also d: | \( \vec{OH} \) | = \( \sqrt{(e-k(2+k²)²+(k-1)²} \) und diese dann nach k umzustellen.

Hier scheitert das Experiment allerdings. Die Gleichung wird ja gleich null gesetzt. Dann quadriere ich die, um die Wurzel zu entfernen... und dann?

Mein Taschenrechner meckert nämlich von wegen ,,Variable nicht definiert"...

Wenn ich mir den Graphen zeichnen lasse, erhalte ich als Minimum ca k≈ 0.808, die Lösungen sagen aber k≈1,3

Kann mir jemand bitte sagen, wo der Fehler liegt?

Comments

Hallo,

Du hst beim Quadrieren den Faktor \(e^{-k}\) nicht quadriert. Außerdem musst Du nicht den angegebenen Term gleich 0 setzen sondern dessen erste Ableitung. Ich fürchte es geht aber nur eine numerische Lösung.

Gruß Mathhilf

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oh jesus christ haha, vielen Dank dir!!

Answer 1

Sei s der quadratische Abstand

s(k) = (k - 1)^2 + (e^(-k)·(2 + k^2))^2 = e^(- 2·k)·(k^2 + 2)^2 + (k - 1)^2

s'(k) = 2·(k - 1) - 2·e^(- 2·k)·(k^2 + 2)·(k^2 - 2·k + 2) = 0 --> k = 1.298966167