Exponentialfunktion Beweis

Question

Aufgabe:

Es seien exp : ℂ→ ℂ, z → exp (z) = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{z^k}{k!}} \) die Exponentialfunktion, 
sin(z)=\( \frac{1}{2i} \) (exp(iz)-exp(-iz))  und cos(z)=\( \frac{1}{2} \) (exp(iz)+exp(-iz)) Zeigen Sie:

(a) Ist x ∈ R und x > 0, so ist exp (x) > 1,
(b) ist x ∈ R und x < 0, so ist 0 < exp (x) < 1,
(c) ist x ∈ R, so ist | exp (ix)| = 1,
(d) ist z ∈ C mit sin (z) = 0 oder cos (z) = 0, so ist z reell.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ?

Answer 1

Hallo

a) die Reihe fängt an mit z^0/1=1 danach kommen nur positive Summanden, also ist sie >1

b) die Reihe ist alternierend, sie fängt für x=-r an mit 1-r/1+r^2/2-r^3/6 usw ist also sicher <1,aber die Teile hinter 1 erreichen nie zusammen -1 also >0

c) teile die Reihe auf in den imaginären und reellen Teil

d) schreibe die Reihe  (exp(iz)-exp(-iz))=0 auf ebenso die für   (exp(iz)+exp(-iz))

Gruß lul

Comments

vielen dank:)
 a und b habe ich verstanden aber bei c habe ich eine Frage:

ix ist doch immer der imaginäre anteil wo ist dann der reelle anteil ?

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hallo

 alle geraden Exponenten in der Reihe machen doch aus (ix^n) -1*x^n oder +1*x^n alle ungeraden -i x^n oder +i*x^n

Gruß lul