Gleichungen der Tangenten an die Ellipse? Berührungspunkte P(-2/y)

Question

Aufgabe:

Die Gleichung ist:

ellipse: 4x^2+9y^2=36

P(-2/y)

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man  die Gleichung der Tangente?

Vielen Dank!

die Antwort,die mir gegeben wurde ist : 4x+3√5=-18

Comments

Gleiche Frage mit Lösungsversuch und Fehler darin:

Titel: Gleichungen der Tangenten an die Ellipse durch P(-2/y)?

Stichworte: ellipse,gleichung,tangente

Originalüberschrift: Fehler? Ellipse und Gleichung der Tangente

Aufgabe:

Ellipse: 4x^2+9y^2=36

P(-2/y)

Problem/Ansatz:

Ich habe diese Aufgabe hier gesehen,trotzdem habe ich nicht verstanden:

4*4+9y^2=36

y= (20)^(1/2) /3

4x^2+9y^2=36

4*(-2)*x+9*(20)^(1/2) /3 *y =36

-4x+3(5)^(1/2)y =18

Warum in der Lösung  gibt keine y?

4x+3*(5)^(1/2)=-18

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Kann es sein, dass ihr bereits implizit differenzieren sollt? Vgl. Kommentar von az0815 https://www.mathelounge.de/370193/tangente-an-einer-ellipse-implizites-differenzieren?show=370269#c370269 ?

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Fragestellung wird leider durch Wiederholung nicht vollständiger: https://www.mathelounge.de/640910/gleichung-der-tangente-im-punkt-p-ellipse

Vielleicht arbeitet ihr ja mit dem gleichen Buch. Musterlösung ist falsch. Weitere Druckfehler im gleichen Buch vielleicht schon hier besprochen: https://www.mathelounge.de/user/milaram/questions ?

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Es gibt mehr als eine Tangente mit einem Berührungspunkt P(-2| y) .

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Diese Frage hast du (Leragamp) mit andern Zahlen schon einmal gestellt: https://www.mathelounge.de/636656/berechne-die-gleichung-der-tangente-im-punkt-p und nun die Verfahren von dort noch geübt?

Es wurde hier doch genau die Formel eingesetzt, die Wolfgang damals angegeben hat.

Answer 1

4x^2+9y^2=36   und P(-2 ; y)

==> 4*4+9y^2=36

            y^2=20/9  also gibt es zwei Punkte ( -2 ; (√20)  / 3 ) und ( -2 ; (-√20)  / 3 )

der erste liegt auf dem Funktionsgrapühen von

f(x) = √ ( 36 - 4x^2 ) / 3 =  (2/3)*√(9-x^2)  also f ' (x) = -2x / ( 3*√(9-x^2) )

also f ' (-2) = (4/15) *√5 mit y = mx+n bekommt du im Punkt  ( -2 ; (√20)  / 3 )

 (√20)  / 3 = (4/15) *√5  * (-2) + n

   n = (6/5) √5 also Tangente

y =  (4/15) *√5  x +  (6/5) √5

Bei deiner Gleichung gibt es ja gar kein y, das kann wohl nicht stimmen, da

wäre die Tangente ja parallel zur y-Achse.

Answer 2

Kennt Ihr implizite Ableitungen

Ansonsten könntest du die obige Gleichung nach y Auflösen

y = ±√((36 - 4·x^2)/9)

Beachte das es hier zwei Funktionen gibt. Jetzt legst du an beide Funktionen an der Stelle x = -2 die Tangente an.

Answer 3

Ellipse: 4x²+9y²=36 in Halbachsenform: x²/9+y²/4=1. Das ist ein in y-Richtung mit dem Faktor 2/3 gestauchter Kreis x²+y²=9:

Der Punkt P(-2|2/3·√5) enspricht auf dem Kreis P'(-2|√5). Hier hat die Kreistangente die Steigung m'=2/√5 und gestaucht auf die Ellipsentangente m = 4/(3√5).

Die offenbar gesuchte Tangente in P hat die Steigung m und die Gleichung y=2√5(2x+9)/15.

Answer 4

Version: 6.8.2019
Originalüberschrift: Fehler? Ellipse und Gleichung der Tangente
Aufgabe:
Ellipse: 4x^2+9y^2=36
P(-2/y)

Diese Fragestellung gibt nicht genug Informationen her um nicht zumindest anzunehmen, dass zwei Tangentengleichungen gesucht sein könnten. (Vgl. Skizze von Roland).

Ich würde gar nichts tun und fragen, was die Frage ist.

4*4+9y^{2}=36

y= ± (20)^(1/2) /3        | Hier werden die y-Werte der Berührungspunkte ausgerechnet

Weg zur oberen der beiden Tangenten: Jemand versucht wohl Punkt (-2| (20)^(1/2) /3) einzusetzen

4x^2+9y^2=36

4*(-2)*x+9*(20)^(1/2) /3 *y =36

-4x+3(5)^(1/2)y =18

Das könntest du nach y auflösen oder anderweitig vereinfachen: :(-1)

Warum in der Lösung  gibt keine y? y wurde vergessen.

4x+3*(5)^(1/2)y=-18

Answer 5

Ellipse: \(4x^2+9y^2=36\)      \(P(-2|±\frac{2}{3}\sqrt{5})\)  

Bestimmung der Tangentensteigungen:

\(f(x,y)=4x^2+9y^2-36\)

\(f_x(x,y)=8x\)

\(f_y(x,y)=18y\)

\(f'(x)=-\frac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)} \)

\(f'(x)=-\frac{8x}{18y}=-\frac{4x}{9y} \)

1.)

\(f'(-2)=-\frac{4\cdot(-2)}{9\cdot \frac{2}{3}\sqrt{5}}=\frac{4}{3\sqrt{5}} \)

2.)

\(f'(-2)=-\frac{4\cdot(-2)}{9\cdot( -\frac{2}{3})\sqrt{5}}=-\frac{4}{3\sqrt{5}} \)

Tangentengleichungen über die Punkt-Steigungsform der Geraden:

1.Tangente :

\(y=\frac{4}{3\sqrt{5}}\cdot(x+2)+\frac{2}{3}\sqrt{5}  \)

2.Tangente:

\(y=-\frac{4}{3\sqrt{5}}\cdot(x+2)-\frac{2}{3}\sqrt{5}  \)