Dreiecke unbekannter Radius. Im Rechteck die Position eines Punktes P bestimmen.

Question

Diese Frage ist nicht Bestandteil einer Hausaufgabe.

Ich habe ein Koordinatensystem mit 4 Bekannten Punkten (Eckpunkten), welche ein Rechteck bilden. Die Abstände zwischen den einzelnen Punkten sind bekannt.

Jetzt soll in dem Rechteck die Position eines Punktes P bestimmt werden. Von P ist der Abstand zu einem Eckpunkt der Radius r. Dieser ist unbekannt. Die Abstände zu den anderen Eckpunkten sind mit x(1,2,3) + r gegeben, wobei x(1,2,3) jeweils bekannt ist, r hingegen nicht.

Wie kann ich r berechnen?

Comments

du kannst die Länge der Diagonalen, die von links oben nach rechts unten verläuft, mit dem Satz des Pythagoras berechnen, dann brauchst von dem Ergebnis nur  noch eine der bekannten Längen x_1,2,3 abzuziehen, um den Radius zu erhalten.

Gruß, Silvia

PS: Dieser Ansatz ist leider falsch, s. Kommentar von az0815

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Nun, das ist zum einen falsch und zum anderen scheinst du davon auszugehen, dass der Punkt P auf der Diagonalen liegt, was er aber nicht muss.

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scheinst du davon auszugehen, dass der Punkt P auf der Diagonalen liegt,

Du hast recht, davon bin ich ausgegangen.

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Ja, er könnte auch ganz woanders liegen (siehe Plot), aber danke für den Versuch.

~draw~ punkt(1|1);punkt(1|7);punkt(9|1);punkt(9|7);linienzug(1|1 1|7 9|7 9|1 1|1){0F0};punkt(2|3 "P");linienzug(1|1 9|7){0F0};linienzug(1|7 9|1){0F0};kreis(2|3 2.2);strecke(9|1 4.2|2.5){F00};strecke(9|7 4|4){F00};strecke(1|7 1.4|5.2){F00};zoom(10) ~draw~

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Ich habe eine allgemeine Formel die aber zu komplex ist um sie hier hinzuschreiben. Brauchst du die Formel oder soll es für konkrete Zahlen vorgemacht werden?

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Formel wäre gut, ich möchte es gerne programmieren.

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Hallo cinderr,

das System, was Du beschreibst, ist bereits überbestimmt. D.h. im allgemeinen Fall wird es gar keine Lösung geben.

Nehmen wir mal zwei der drei Eckpunkte heraus, zu denen der Abstand zu \(P\) \(x_1+r\) bzw. \(x_2+r\) betragen soll. Lässt man \(r\) frei laufen, so liegen alle diese Punkte auf einem Paar Hyperbelästen. Das gleiche kann man für ein zweites Paar der Eckpunkte machen und erhält so maximal vier Punkte \(P_j\) mit \(j \in \{1,2,3,4\}\), in denen sich die Hyberbeln schneiden. Jeder der Schnittpunkte hat dann zu den drei Eckpunkten den Abstand \(x_i+r_j\). Dass jetzt einer der Schnittpunkten \(P_j\) zum vierten Eckpunkt des Rechtecks gerade den Abstand \(r_j\) haben sollte, wäre reiner Zufall.

Gibt es noch weitere Informationen zu dieser Aufgabe?

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Der Abstand zu einem Eckpunkt beträgt immer r. Nur der Eckpunkt, zu welchem der Abstand r beträgt, kann sich ändern, da es sich immer um den Eckunkt handelt, zu dem der Punkt P die kürzeste Verbindung r aufweist. Von den anderen Punkten ist der Abstand dann immer x(1,2,3) + r.

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.. das habe ich auch so verstanden. Ändert aber nichts an der Überbestimmtheit.

Answer 1

Falls P nicht zufällig auf der Diagonalen liegt, sieht die Sache so aus:

Dann gilt  (b-x)²+y²=u²

         und (a-y)²+x²=w²

Dies System mit zwei Unbekannten (x und y) kann man lösen, Dann ist r²=x²+y².

Comments

Aber u und w sind ja ebenfalls unbekannt. Da komme ich im Moment nicht drauf wie ich das System lösen kann. Könntest Du mir da noch einen Denkanstoß geben?

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Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe ist:

u = x1 + r
v = x2 + r
w = x3 + r

Also alles gegeben.

r bleibt erstmal als unbekannte stehen. das ist ein gleichungssystem. mehrere gleichungen mit mehreren unbekannten. das kannst du dann zu den unbekannten auflösen.

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Auf dem angefügten Schmierzettel sind meine stümperhaften Versuche der Lösung näher zu kommen. Leider habe ich das auch schon seit ein paar Jahren nicht mehr gemacht. Wo mache ich einen/mehrere Fehler?

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Wo mache ich einen/mehrere Fehler?

Du hast das \(x_3\) ignoriert. Es fehlt noch die Bedingung $$(b-x)^2 + (a-y)^2 = (x_3+r)^2$$

Answer 2

Hallo cinderr,

Du hast ja auf meinen Hinweis mit der Überbestimmtheit bisher nicht reagiert. Vielleicht verrätst Du uns noch aus welchem Kontext die Aufgabe entstammt.

ich möchte es gerne programmieren.

D.h. man kann auch ein iteratives Verfahren wählen, was zwar nicht die Lösung liefert (IMHO gibt es die nicht!), aber immerhin eine Position für \(P\) und einen Wert für \(r\), der die Vorgaben ungefähr erfüllt.

Als Beispiel habe ich ein Rechteck mit den Maßen \(12 \times 7\) gewählt und die Werte für die \(x_i\) sind \(x_1=5\), \(x_2=6\) und \(x_3 =4\). Dann komme ich zu folgendem Bild:

Der Punkt \(A\) liegt im Ursprung und \(B\) bei \(B=(12|\,0)\). Ergebnis: \(P \approx (8,21|\, 0,83)\) und \(r\approx 3,66\). Als Kriterium für den 'best fit' habe ich ein Energieminimum gewählt.

Man kann an diesem Beispiel auch gut sehen, dass es schwerlich eine bessere Lösung gibt. \(P\) ist von \(D\) noch zu weit entfernt. Rückt man ihn aber näher an \(D\), so muss man \(r\) verkleinern, damit die Abstände zu \(A\) und \(C\) passen. Damit entfernt sich \(P\) aber zu weit von \(B\).

Wenn Du mehr dazu wissen möchtest, so melde Dich nochmal.

Lässt man den Punkt \(B\) weg, so handelt es sich um das Problem der Apollonischen Kreise.

Comments

Letztendlich schneiden sich in dem Punkt 4 Kreise, jedoch sind 3 Radien nur partiell bekannt und der Radius r von einem Punkt aus komplett unbekannt. Dieser Radius r müsste zu den partiell bekannten Radien addiert werden.

~draw~ kreis(1|1 2.2)#;kreis(1|7 4.1)#;kreis(9|1 7.3)#;kreis(9|7 8.1)#;punkt(1|1);punkt(1|7);punkt(9|1);punkt(9|7);punkt(2|3 "P"){F00};linienzug(1|1 1|7 9|7 9|1 1|1){0FF};linienzug(1|1 9|7){0FF};linienzug(1|7 9|1){0FF};zoom(10) ~draw~

Iterativ ist leider immer nur die zweitbeste Lösung aber natürlich machbar über Code. Mich würde halt interessieren, ob es nicht auch eine algebraische Lösung für das Problem gibt.