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Teilmengen und Untervektorräume
a) \(\text{span} (M \cap N) \subseteq \text{span} (M) \cap \text{span}(N)\)
Betrachten wir zuerst die Behauptung, dass der Spann der Schnittmenge zweier Mengen \(M\) und \(N\) eine Teilmenge des Schnittes ihrer Spanne ist. Der Spann einer Menge bezeichnet den kleinsten Untervektorraum, der diese Menge enthält. Dieser besteht aus allen Linearkombinationen der Elemente der Menge.
Sei \(x\) ein Element von \(\text{span}(M \cap N)\). Das bedeutet, \(x\) kann als Linearkombination der Elemente aus \(M \cap N\) dargestellt werden. Da jedes Element von \(M \cap N\) sowohl in \(M\) als auch in \(N\) liegt, sind alle diese Elemente auch in \(\text{span}(M)\) und in \(\text{span}(N)\), denn die Spanne von \(M\) und \(N\) beinhaltet alle Linearkombinationen ihrer Elemente. Somit ist \(x\) sowohl ein Element von \(\text{span}(M)\) als auch von \(\text{span}(N)\), was heißt, dass \(x \in \text{span}(M) \cap \text{span}(N)\). Daher haben wir gezeigt, dass \(\text{span}(M \cap N) \subseteq \text{span}(M) \cap \text{span}(N)\).
Beispiel für eine echte Inklusion:
Betrachten wir \(V = \mathbb{R}^2\) und die Mengen \(M = \{(1,0)\}\) und \(N = \{(0,1)\}\). Dann ist \(M \cap N = \emptyset\), also ist \(\text{span}(M \cap N) = \{0\}\), da der Spann der leeren Menge der Nullvektor ist.
Jedoch ist \(\text{span}(M)\) die x-Achse und \(\text{span}(N)\) die y-Achse in \(\mathbb{R}^2\), so dass \(\text{span}(M) \cap \text{span}(N)\) ebenfalls nur der Nullvektor ist. In diesem Fall sehen wir, dass \(\text{span}(M \cap N) = \text{span}(M) \cap \text{span}(N)\), und beide Seiten sind gleich \(\{0\}\), somit ist die Inklusion in diesem spezifischen Beispiel nicht echt.
Ein besser geeignetes Beispiel wäre \(M = \{(1,0), (0,1)\}\) und \(N = \{(2,0), (0,2)\}\) in \(\mathbb{R}^2\), dann ist \(\text{span}(M \cap N) = \emptyset\), aber \(\text{span}(M) = \text{span}(N) = \mathbb{R}^2\), also \(\text{span}(M) \cap \text{span}(N) = \mathbb{R}^2\), was zeigt, dass die Inklusion echt sein kann, da \(\emptyset \subset \mathbb{R}^2\).
b) \(\text{span} (M) \cup \text{span}(N) = \text{span} (M \cup N)\) genau dann, wenn \(\text{span} (M) \subseteq \text{span} (N)\) oder \(\text{span} (N) \subseteq \text{span} (M)\)
Eine Vereinigung von zwei Vektorräumen ist genau dann wieder ein Vektorraum, wenn einer der Vektorräume im anderen enthalten ist. Das liegt daran, dass nur in diesem Fall die abgeschlossene Addition und skalare Multiplikation gewährleistet ist.
Wenn \(\text{span} (M) \subseteq \text{span} (N)\), dann beinhaltet \(\text{span} (N)\) alle Linearkombinationen, die mit Elementen von \(M\) und \(N\) gebildet werden können, da alle Elemente von \(M\) auch in \(N\) enthalten sind (bezogen auf ihre Spanne). Also ist \(\text{span} (M) \cup \text{span}(N) = \text{span} (N)\), und äquivalent dazu ist \(\text{span} (N) = \text{span} (M \cup N)\), weil \(N\) alle Elemente für die Linearkombinationen von \(M \cup N\) bereitstellt.
Ebenso gilt, wenn \(\text{span} (N) \subseteq \text{span} (M)\), dass \(\text{span} (M) \cup \text{span}(N) = \text{span} (M)\) und damit ist \(\text{span} (M) = \text{span} (M \cup N)\).
Umgekehrt, wenn \(\text{span} (M) \cup \text{span}(N) = \text{span} (M \cup N)\), dann muss entweder \(\text{span} (M) \subseteq \text{span} (N)\) oder \(\text{span} (N) \subseteq \text{span} (M)\) sein, denn nur so ist garantiert, dass die Vereinigung ein Vektorraum ist, wie im Hinweis der Aufgabenstellung erwähnt.
