Grenzwert mit der Binomischen Formel

Question

Aufgabe:

ich soll zeigen, dass

lim ?(x -> 1), (x != 1)

( (√(4x) - √(x+3)) / (x - 1) )

existiert und danach den Grenzwert berechnen. Das schwierige hier ist, dass ich die Regel von l’Hospital nicht verwenden darf. Stattdessen soll ich mit Hilfe der 3. binomischen Formel den Grenzwert berechnen.

Aber ich verstehe nicht inwiefern mir die 3. binomische Formel weiter helfen soll.

Answer 1

( (√(4x) - √(x+3)) / (x - 1) )    mit    (√(4x) + √(x+3)) erweitern gibt

mit der 3. binomi. Fo. im Zähler angewandt

(  4x  -  (x+3) )  /    (x - 1) * (√(4x) + √(x+3)  )

=  (  3x  - 3 )  /    (x - 1) * (√(4x) + √(x+3)  )

=   3(x  - 1 )  /    (x - 1) * (√(4x) + √(x+3)  )    kürze (x-1)

=  3 /   (√(4x) + √(x+3) )

für x gegen 1 geht das gegen

3 / ( 2 + 2) =   3/4

Answer 2

(√(4·x) - √(x + 3)) / (x - 1)

= (√(4·x) - √(x + 3))·(√(4·x) + √(x + 3)) / ((x - 1)·(√(4·x) + √(x + 3)))

= (3·(x - 1)) / ((x - 1)·(√(4·x) + √(x + 3)))

= 3 / (√(4·x) + √(x + 3))

lim x → 1

= 3/4