Grenzwert berechnen: lim n->∞ √(4n²-5)-√(4n²-n) Wie vorgehen?

Question

Mein Gedanke war:

\( \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt{4n^2 - 5} - \sqrt{4n^2 - n} \)

<=> 

\( \lim \limits_{n \to \infty} \frac{\left(\sqrt{4 n^{2}-5}-\sqrt{4 n^{2}-n}\right)\left(\sqrt{4 n^{2}-5}-\sqrt{4 n^{2}-n}\right)}{\sqrt{4 n^{2}-5}-\sqrt{4 n^{2}-n}} \)

Und hier würde ich gerne nun die dritte binomische Formel anwenden, jedoch ist ja die Voraussetzung nicht ganz erfüllt. Wie mache ich nun weiter?

Answer 1

Du musst dann auch gemäß der dritten binomischen Formel erweitern. Sonst wird das auch nichts.

√(4·n^2 - 5) - √(4·n^2 - n)

= (√(4·n^2 - 5) - √(4·n^2 - n)) * (√(4·n^2 - 5) + √(4·n^2 - n)) / (√(4·n^2 - 5) + √(4·n^2 - n))

= (n - 5) / (√(4·n^2 - 5) + √(4·n^2 - n))

= n(1 - 5/n) / (n√(4 - 5/n^2) + n√(4 - 1/n))

= (1 - 5/n) / (√(4 - 5/n^2) + √(4 - 1/n))

= 1 / 4