Grenzwert der Folge ((n^2 + 1)/(n^2-2))^ (n^2-2) ) bestimmen

Question

Wie bestimmt man hier den Grenzwert:

$$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { n ^ { 2 } + 1 } { n ^ { 2 } - 2 } \right) ^ { n ^ { 2 } - 2 } $$

Answer 1

lim (n→∞) ((n^2 + 1)/(n^2 - 2))^{n^2 - 2}

= lim (n→∞) ((n^2 - 2 + 3)/(n^2 - 2))^{n^2 - 2}

= lim (z→∞) ((z + 3)/z)^z

= lim (z→∞) (1 + 3/z)^z

= e^3

Comments

wie kommt man auf das e³ ?

---

@Der_Mathecaoch: Was du du schreibst ist grober mathematischer Unfug. (1+3/z)^z ist nicht e^3, wie man z.b. für z=1 oder 2 oder 3 oder oder oder sieht. Den Limes darf man beim Schreiben nicht weglassen. Wie kommt hier der "Experten"Status zu Stande?

---

Aufgrund der Fragestellung habe ich mal angenommen das der Grenzwert gemeint ist ist für alle klar.

Aber ich habe ihn jetzt für dich in jede Zeile dazu geschrieben. Auf meinem Profil steht extra, dass ich keine abschreibefertigen Hausaufgaben liefern. D.h. es darf gerne in eine mathematisch korrekte Form gebracht werden, die im Rahmen der Erklärung/Hilfestellung meiner Meinung nach überflüssig ist.

So erlauben sich viele Lehrer auch bei diversen herleitungen eines Differenzialquotienten über die h methedo nur ganz am Ende noch den Grenzwert zu erwähnen.

Wie gesagt hast du recht und es ist mathematisch unkorrekt. Trägt aber selber für die Erklärung nichts bei. Trotzdem kann ich gleich nochmal zeigen warum folgendes gilt:

lim (x→∞) (1 + a/x)^x = e^a

---

lim (x→∞) (1 + a/x)^x
= lim (x→∞) EXP(LN((1 + a/x)^x))
= lim (x→∞) EXP(x·LN(1 + a/x))

Man betrachtet jetzt erstmal nur den Grenzwert des Exponenten

lim (x→∞) x·LN(1 + a/x)
= lim (x→∞) LN(1 + a·x^{-1}) / x^{-1}

L'Hospital

= lim (x→∞) 1/(1 + a·x^{-1})·(- a·x^{-2}) / (- x^{-2})
= lim (x→∞) 1/(1 + a/x)·(- a/x^2) / (- 1/x^2)
= lim (x→∞) 1/(x/x + a/x)·(a/x^2) / (1/x^2)
= lim (x→∞) 1/((x + a)/x)·(a/x^2)·(x^2)
= lim (x→∞) x/(x + a)·(a)
= lim (x→∞) a·x/(x + a)
= lim (x→∞) a·x/(x·(1 + a/x))
= lim (x→∞) a/(1 + a/x)
= a

Jetzt betrachten wir wieder die gesamte e-Funktion

= lim (x→∞) EXP(x·LN(1 + a/x))
= EXP(a)
= e^a

 

---

Mathecoach: Einfach am Schluss kein '=' sondern z.B. einen (einfachen) Pfeil verwenden und dazuschreiben (x→∞). Ich würde behaupten, dass Lehrpersonen das so handhaben. 

 lim (x→∞) (1 + a/x)^x = e^ a

bd49: Du darfst diesen Grenzwert auch einfach wissen, da er sogar als Definition der Exponentialfunktion benutzt wird. z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Definition

cb71: Du kannst auch Experte werden. Dafür musst du dich aber registrieren. Wenn du Antworten schreibst, kommst du zu Punkten. Mehr in FAQ.

---

Auch noch meine Meinung an alle Beteiligten

Die Orginalantwort vom mathecoach steht mir nun nicht mehr
zur Verfügung, da korrigiert wurde.
ich schildere einmal meine eigenen Bemühungen beim
Nachvollziehen der Lösung.

lim (n→∞) ((n² + 1)/(n² - 2))^{n^2 - 2}
schon einmal genial ( n^2 + 1 ) zu ersetzen durch
( n^2 -2 + 3 )
= lim (n→∞) ((n² - 2 + 3)/(n² - 2))^{n^2 - 2}
Jetzt fehlt vielleicht ein
Substitution z = n^2 - 2
= lim (z→∞) ((z + 3)/z)^z
= lim (z→∞) (1 + 3/z)^z
Die Angabe der Lösung durch
= e³
war für mich nicht nachvollziehbar. Hier ging es mir
wie dem Fragesteller " wie kommt man auf das e³ ? "

@cb71
Deine Kritik ist von " oben herab " so nicht gerechtfertigt.
Das es sich hier um den Fall lim z -> ∞ handelt geht aus dem
Kontext klar hervor.
Der Mathecoach hat seine Sterne von den Fragestellern selbst
bekommen. Es scheinen ein paar Leute mit den Antworten dann
doch zufrieden gewesen zu sein. 
Vielleicht  verwendest du deine Energie ja auch mal darauf
hier ein paar gescheite Antworten einzustellen.

Der Mathecoach hat dann den Lösungsweg über die
Umwandlung in eine e-Funktion und anschließend l´Hosptial
ausführlich dargestellt. Ich habe wieder was dadurch gelernt.

mfg Georg

 

 

---

@Lu: Danke für den Hinweis zur sinnvollen Notation. Vielleicht nehmen es sich manche hier zu Herzen. Experte möchte ich hier nicht werden, dann wäre ich wohl die ganze Zeit damit beschäftigt solche krude Notation zu verbessern, manchen hier scheint ja nicht klar zu sein, dass es schlicht falsch ist. Etgal was der Kontext ist. @georgborn: Sorry, du bist mindestens genauso von oben herab. Und sorry wenn ich was dagegen hab dass sich falsche Notationen und falsches Vorstellungen verbreiten. Und das der hier irgendwer einen Stern darauf gibt hat doch gar nichts damit zu tun ob die Antwort richtig ist oder nicht. Es könnte schlicht sein, dass der fragende gar nicht weiß, dass das hier falsch ist. Und damit wird er diesen Fehler immer wieder wiederholen. Gratuliere dazu.

---

"Hier ging es mir wie dem Fragesteller " wie kommt man auf das e3 ? " Mir nicht. Sorry du schreibst eine Polemik, das es grausig ist. Willst du absichtlich jeden vergraulen, der mehr Ahnung hat als du?

---

@Mathecoach: Danke für die konstruktive Verbesserung. Deine Aussage zu den Lehrpersonen sehe ich nicht so, ich gehe davon aus. dass das so gemacht wird wie @Lu schrieb. Sorry, falls mein letzter Satz unhöflich rüberkam, ich war nur ob meines Erachtens massiven Noatationsfehlers im Kontrast zu deinem doch etwas hochtrabendem Namen und dem Riesen-Experten-Balken sehr irritiert.

---

Ich hoffe aber trotzdem das inzwischen klar ist wie mal auf e^3 als Grenzwert kommt.

---

@Fragesteller, sollte dir an der Lösung irgendetwas unklar
sein bin ich bei Bedarf gern weiter behilflich, denn es geht ja
darum deine Frage zufriedenstellend zu beantworten.

@cb71
Das was jetzt hier wieder abläuft findet im Monat ungefähr 3 mal statt.
irgendjemand, der sich noch nicht einmal die Mühe gemacht eine
eigene Antwort einzustellen, fordert die " akadamische Strenge "
in der Beantwortung der Fragen.
Ich selbst habe es ja auch schon erlebt. Ich möchte dich daher bitten
bei meinen Antworten auf Kommentare zu verzichten. Ich brauche diese
nicht. Lege auch keinen Wert darauf.
Solltest du der Ansicht sein eine exaktere oder richtigere Antwort  für
den Fragesteller zu haben stelle diese doch bitte als eigene Antwort ein.

Georg