Aufgabe:
Für θ ∈ (-1, 1) betrachten wir die parameterabhängige Matrix:
Aθ = \( \begin{pmatrix} 4+θ & 1-θ \\ θ-1 & 2-θ \end{pmatrix} \)
a.) Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren von Aθ in Abhängigkeit von θ ∈ (-1, 1).
b.) Bestimmen Sie die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte von θ ∈ (-1, 1).
c.) Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen. Gehen Sie insbesondere auf die Unterschiede zwischen negativem, positiven θ und θ = 0 ein.
Problem/Ansatz:
Das Problem tritt schon bei a.) auf:
Als Eigenwerte habe ich, abhängig von θ heraus:
λ1,2 = \( \frac{2θ+2}{2} \) ± √[(\( \frac{2θ+2}{2} \))2-(9-4θ)].
Wo bringe ich denn die (-1, 1) ein, oder berechne ich die Eigenvektoren auch noch, indemm ich die λ1,2 in die Eigenvektorgleichung kern(A-λEn) einsetze?
Schonmal vielen Dank für die Hilfe!
