Parameterabhängige Matrix: Eigenwerte/Eigenvektoren

Question

Aufgabe:

Für θ ∈ (-1, 1) betrachten wir die parameterabhängige Matrix:

A_θ = \( \begin{pmatrix} 4+θ & 1-θ \\ θ-1 & 2-θ \end{pmatrix} \)

a.) Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren von A_θ in Abhängigkeit von θ ∈ (-1, 1).

b.) Bestimmen Sie die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte von θ ∈ (-1, 1).

c.) Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen. Gehen Sie insbesondere auf die Unterschiede zwischen negativem, positiven θ und θ = 0 ein.

Problem/Ansatz:

Das Problem tritt schon bei a.) auf:

Als Eigenwerte habe ich, abhängig von θ heraus:

λ_1,2 = \( \frac{2θ+2}{2} \) ± √[(\( \frac{2θ+2}{2} \))²-(9-4θ)].

Wo bringe ich denn die (-1, 1) ein, oder berechne ich die Eigenvektoren auch noch, indemm ich die λ_1,2 in die Eigenvektorgleichung kern(A-λE_n) einsetze?

Schonmal vielen Dank für die Hilfe!

Comments

Eigenwerte

DET([4 + θ - k, 1 - θ; θ - 1, 2 - θ - k]) = 0 → k = 3 - 2·√θ ∨ k = 2·√θ + 3

Schau mal ob du deine Eigenwerte so vereinfachen kannst, das du meine raus hast.

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Bin ich nicht, anscheinend habe ich mich schon direkt bei dem charakteristischen Polynom verrannt.

Ich habe es noch ein Mal gerechnet und komme jetzt auf genau deine Werte.

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Hallo nochmal,

mit den Eigenwerten kann ich ja die Eigenvektoren durch v_1,2 = kern(A-k_1,2E3) ausrechnen, oder? Dann immer noch in Abhängigkeit von θ.

Wann und wie kommt denn das θ ∈ (-1, 1) ins Spiel?

Answer 1

Nenne Doch mal die Eigenwerte für θ = 1 und dann nenne mal die Eigenwerte für θ = -1. Vielleicht merkst du es dann.

Comments

k = 3 - 2·√θ

k(1)=1
k(-1)=3-2i

k = 2·√θ + 3

k(1)=5
k(-1)=3+2i

Darf ich die komplexen Werte nehmen? Ansonsten sind Eigenwerte für negative θ nicht vorhanden.

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Herzlichen Glückwunsch. Du hast erkannt das man eine Fallunterscheidung machen muss.

Für θ > 0 gibt es zwei Eigenwerte

Für θ = 0 gibt es nur einen Eigenwert

Für θ < 0 gibt es keine bzw. nur komplexe Eigenwerte.

Habt ihr selber schon mal mit komplexen Eigenwerten gearbeitet?

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sehr schön, danke für den "Schubs"!

haben wir in soweit, dass ich weiß, dass die komplexen Eigenwerte dann auch komplexe Eigenvektoren zur Folge haben.

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Völlig richtig. Übrigens kannst du selber deine Ergebnisse immer gut mit Wolframalpha vergleichen.

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Gut zu wissen! Wolframalpha kommt gelegentlich zum Einsatz, in dem speziellen Fall aber noch nicht.

Also dann: (Mal wieder)

Answer 2

Wie bestimmt man in dieser Aufgabe nun weiter die algebraischen und geometrischen Vielfachheit?