x∈ℂ bestimmen damit die Reihe konvergiert

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{n!}{n^n}} \) ·xⁿ 

x∈ℂ bestimmen damit die Reihe konvergiert

Problem/Ansatz:

Ich habe hier mit dem Quotienten Kriterium gearbeitet und folgendes bekommen.

|\( \frac{n^n}{ (n+1)^n} \) *x | und das muss kleiner als q sein. q∈(0,1)

Jetzt habe ich durch Wolfram Alpha herausgefunden, dass \lim\limits_{n\to\infty} \( \frac{n^n}{ (n+1)^n} \) gegen \( \frac{1}{e} \) geht.

Meine erste Frage, wie kann ich zeigen dass es gegen 1/e geht falls dies überhaupt richtig ist.

Daraus folgt, dass |x|<e sein muss damit die Reihe konvergiert.

Ist das so richtig?

Grüße und danke für die Aufmerksamkeit

Answer 1

n/(n+1)= (n+1 -1)/(n+1)

=1 -1/(n+1)

Alles hoch n gibt

(1-1/(n+1))^{n}

und das ist eine Definition von e^{-1}

Answer 2

ja, das ist schon richtig, aber du kannst auch direkt \(\lim\limits_{n\to\infty}\left \lvert \frac{a_n}{a_{n+1}}\right \rvert\) - so steht es ja auch im Skript. Man könnte eventuell auch noch die Ränder untersuchen, sprich gucken, ob die Reihe für \(\pm e\) konvergiert.

Hier ein schönes Video, das ich gestern dazu gefunden habe:

https://www.youtube.com/watch?v=-GJEA9982hI